Для решения задачи начнем с анализа данной информации. У нас есть точка A, которая расположена над плоскостью и от которой опущен перпендикуляр к плоскости, образуя точку H на плоскости. Длина перпендикуляра AH равна 12 см.

Также из точки A проведены две наклонные линии: одна длиной 13 см (обозначим ее как AB), а другая длиной 12√2 см (обозначим ее как AC). Угол между проекциями этих наклонных линий на плоскость составляет 90 градусов.

Теперь давайте рассмотрим проекции наклонных линий на плоскость. Обозначим проекции линий AB и AC на плоскости как B и C соответственно. Поскольку угол между проекциями равен 90 градусов, треугольник ABC будет прямоугольным.

Теперь мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, чтобы найти расстояние между основаниями наклонных линий, то есть длину отрезка BC.

1. Сначала найдем длину отрезка BH, который является проекцией наклонной AB на плоскость:
• Используем теорему Пифагора для треугольника AHB:
• AH² + BH² = AB²
• 12² + BH² = 13²
• 144 + BH² = 169
• BH² = 169 - 144 = 25
• BH = √25 = 5 см
2. Теперь найдем длину отрезка CH, который является проекцией наклонной AC на плоскость:
• Используем теорему Пифагора для треугольника AHC:
• AH² + CH² = AC²
• 12² + CH² = (12√2)²
• 144 + CH² = 288
• CH² = 288 - 144 = 144
• CH = √144 = 12 см
3. Теперь мы знаем длины отрезков BH и CH:
• BH = 5 см
• CH = 12 см
4. Чтобы найти расстояние между основаниями наклонных линий, нам нужно вычислить длину отрезка BC:
• BC = |CH - BH| = |12 - 5| = 7 см

Таким образом, расстояние между основаниями наклонных линий AB и AC равно 7 см.