Из вершины C правильного треугольника ABC со стороной 10 см проведен перпендикуляр CM длиной 6 см к его плоскости. Как можно определить расстояние от точки M до стороны AB?

Геометрия 11 класс Параллельные и перпендикулярные прямые в пространстве расстояние от точки M до стороны AB перпендикуляр CM правильный треугольник ABC геометрия 11 класс задача по геометрии треугольник со стороной 10 см вычисление расстояния в треугольнике Новый

Для того чтобы определить расстояние от точки M до стороны AB, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем решение поэтапно.

Шаг 1: Определение координат точек треугольника ABC

• Пусть вершина A находится в точке (0, 0, 0).
• Вершина B будет в точке (10, 0, 0), так как сторона AB равна 10 см.
• Вершина C будет находиться на высоте, и её координаты можно найти, используя свойства правильного треугольника. Высота из вершины C к стороне AB делит его пополам, поэтому координаты C: (5, h, 0), где h - высота треугольника.

Чтобы найти h, используем формулу для высоты правильного треугольника:

h = (sqrt(3)/2) * a, где a - длина стороны треугольника. Подставляем a = 10 см:

h = (sqrt(3)/2) * 10 ≈ 8.66 см.

Таким образом, координаты точки C будут (5, 8.66, 0).

Шаг 2: Определение координат точки M

Точка M находится на перпендикуляре CM, который имеет длину 6 см. Так как CM перпендикулярен плоскости треугольника, координаты точки M будут:

• M(5, 8.66, 6).

Шаг 3: Определение уравнения прямой AB

Сторона AB лежит в плоскости Z = 0, и её уравнение можно записать в параметрической форме. Вектор AB можно представить как:

• AB = B - A = (10, 0, 0) - (0, 0, 0) = (10, 0, 0).

Шаг 4: Определение расстояния от точки M до прямой AB

Расстояние от точки до прямой можно найти с помощью формулы:

D = |(P - A) x (B - A)| / |B - A|, где P - это точка M, A и B - точки на прямой AB.

Подставим значения:

• P = M(5, 8.66, 6), A = (0, 0, 0), B = (10, 0, 0).

Вектор P - A = (5, 8.66, 6) - (0, 0, 0) = (5, 8.66, 6).

Вектор B - A = (10, 0, 0) - (0, 0, 0) = (10, 0, 0).

Теперь находим векторное произведение:

• (5, 8.66, 6) x (10, 0, 0) = (0, 60, -86.6).

Теперь находим длину векторного произведения:

|(0, 60, -86.6)| = sqrt(0^2 + 60^2 + (-86.6)^2) = sqrt(0 + 3600 + 7500.76) ≈ sqrt(11100.76) ≈ 105.36.

Теперь находим длину вектора B - A:

|B - A| = |(10, 0, 0)| = 10.

Шаг 5: Нахождение расстояния

Теперь подставляем значения в формулу для расстояния:

D = 105.36 / 10 = 10.536 см.

Таким образом, расстояние от точки M до стороны AB составляет примерно 10.54 см.