Рассмотрим задачу о четырех точках, которые разбивают окружность на дуги, длины которых образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 3. Эти точки будем обозначать как A, B, C и D. Мы создадим четырехугольник ABCD, соединяя эти точки последовательно.

Поскольку четырехугольник ABCD вписан в окружность, мы можем использовать свойства вписанных углов и центральных углов для нахождения углов между диагоналями AC и BD.

Давайте обозначим центральный угол AOD как n, который соответствует дуге AD. Тогда длины остальных дуг можно выразить через этот угол:

• Дуга AB соответствует углу n1 = 3n;
• Дуга BC соответствует углу n2 = 9n;
• Дуга CD соответствует углу n3 = 27n.

Сумма всех центральных углов, обрисованных этими дугами, равна 360 градусам:

n + n1 + n2 + n3 = 360.

Подставляя наши выражения, получаем:

n + 3n + 9n + 27n = 360.

Это упрощается до:

40n = 360,

откуда:

n = 9.

Теперь мы можем вычислить все центральные углы:

• n = 9 градусов;
• n1 = 27 градусов;
• n2 = 81 градусов;
• n3 = 243 градуса.

Теперь перейдем к вписанным углам. Напомним, что вписанный угол равен половине соответствующего центрального угла. Таким образом, можем вычислить углы в четырехугольнике:

• Угол BDC = 0.5 * n2 = 0.5 * 81 = 40.5 градусов;
• Угол ADB = 0.5 * n1 = 0.5 * 27 = 13.5 градусов;
• Угол CBD = 0.5 * n3 = 0.5 * 243 = 121.5 градусов;
• Угол ABD = 0.5 * n = 0.5 * 9 = 4.5 градусов.

Теперь, чтобы найти угол между диагоналями AC и BD, мы можем использовать сумму некоторых углов. Угол между диагоналями будет равен:

180 - (угол CBD + угол ADB) = 180 - (121.5 + 13.5) = 180 - 135 = 45 градусов.

Таким образом, мы нашли, что меньший угол между диагоналями AC и BD равен 45 градусам. Это решение показывает, как свойства вписанных углов и центральных углов помогают нам в задачах по геометрии.