Как можно доказать, что для неколинеарных векторов а и в выполняется неравенство |а + в| < |а| + |в|?

Геометрия 11 класс Неравенства векторов доказательство неравенства неколинеарные векторы векторы а и в геометрия 11 класс свойства векторов Новый

Чтобы доказать неравенство |а + в| < |а| + |в| для неколинеарных векторов а и в, воспользуемся геометрическими свойствами векторов и неравенством треугольника.

Шаг 1: Понимание неравенства треугольника

• Неравенство треугольника утверждает, что для любых векторов x и y выполняется |x + y| ≤ |x| + |y|.
• Это означает, что длина суммы двух векторов не превышает сумму их длин.

Шаг 2: Применение к неколинеарным векторам

• Поскольку векторы а и в неколинеарны, они не лежат на одной прямой.
• Это значит, что угол между ними не равен 0° или 180°, а находится в диапазоне от 0° до 180°.

Шаг 3: Использование свойства косинуса

• Согласно формуле для длины суммы векторов, мы можем записать:
• |а + в| = √(|а|² + |в|² + 2|а||в|cos(θ)), где θ - угол между векторами а и в.
• Так как а и в неколинеарны, cos(θ) < 1.

Шаг 4: Сравнение с суммой длин

• Подставим значение cos(θ) в формулу:
• |а + в| = √(|а|² + |в|² + 2|а||в|cos(θ)) < √(|а|² + |в|² + 2|а||в|).
• Так как |а|² + |в|² + 2|а||в| = (|а| + |в|)², то:
• |а + в| < √((|а| + |в|)²) = |а| + |в|.
• Таким образом, мы получаем, что |а + в| < |а| + |в|.

Вывод

Мы доказали, что для неколинеарных векторов а и в выполняется неравенство |а + в| < |а| + |в|, используя свойства неравенства треугольника и свойства косинуса.