Первый признак параллельности прямых утверждает, что если две прямые пересечены третьей прямой (трансверсалью) и соответствующие углы равны, то эти две прямые являются параллельными. Чтобы доказать, что две другие формы этого признака равнозначны ему, мы рассмотрим следующие два признака:

• Если две прямые пересечены третьей прямой и внутренние односторонние углы равны, то эти прямые параллельны.
• Если две прямые пересечены третьей прямой и альтернативные внутренние углы равны, то эти прямые параллельны.

Теперь мы докажем, что эти два признака эквивалентны первому признаку параллельности.

1. Доказательство равнозначности первого признака и второго:
   1. a и b пересечены прямой c и внутренние односторонние углы α и β равны.
   2. Внутренние односторонние углы α и β образуют на одной стороне от трансверсали. Если они равны, то угол α + угол β = 180°.
   3. Согласно первому признаку, если соответствующие углы равны, то прямые a и b параллельны.
2. Доказательство равнозначности первого признака и третьего:
   1. Предположим, что две прямые a и b пересечены прямой c и альтернативные внутренние углы γ и δ равны.
   2. Альтернативные внутренние углы γ и δ располагаются по разные стороны от трансверсали. Если они равны, то угол γ + угол δ также равен 180°.
   3. Согласно первому признаку, если соответствующие углы равны, то прямые a и b параллельны.

Таким образом, мы показали, что если две прямые пересечены третьей прямой и внутренние односторонние углы равны, то они параллельны, и аналогично для альтернативных внутренних углов. Следовательно, все три признака параллельности равнозначны друг другу.