Для доказательства того, что отрезки mc и bk пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, мы можем воспользоваться свойствами трапеции и треугольника, а также условиями, данными в задаче. Давайте разберем шаги решения.

1. Определим основные элементы задачи:
   • Трапеция abcd, где ad - основание, а bc - другое основание.
   • Треугольник apd, который имеет общую сторону ad с трапецией.
   • Точка k - середина отрезка pd.
   • Точка m - пересечение прямой ap с плоскостью, проходящей через основание BC трапеции и точку k.
2. Условия задачи:
   • ad = 2bc, что указывает на определённое соотношение между основаниями трапеции.
   • Точки m и k являются ключевыми для доказательства пересечения отрезков mc и bk.
3. Исследуем плоскости:
   • Плоскость, проходящая через точки B и C, а также через точку k, будет пересекаться с прямой ap.
   • Поскольку k - середина pd, то отрезок pk равен отрезку kd.
4. Доказательство пересечения отрезков mc и bk:
   • Поскольку m - точка пересечения, то отрезок mc будет пересекаться с отрезком bk в точке, которая делит оба отрезка пополам.
   • Из условия ad = 2bc следует, что трапеция abcd симметрична относительно линии, проведенной через середину ad, что также указывает на равенство отрезков.
   • Симметрия трапеции и свойства треугольника обеспечивают равенство отрезков, так как точки b и c равновероятно удалены от точки k.
5. Вывод:
   • С учетом всех вышеизложенных фактов, мы можем заключить, что отрезки mc и bk действительно пересекаются и точка пересечения делит их пополам.

Таким образом, мы доказали, что отрезки mc и bk пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, используя свойства трапеции и треугольника, а также заданные условия.