Как можно исследовать функцию y=5x-x^3 (где x в третьей степени) по предложенному плану и построить ее график? Как найти максимальное и минимальное значение этой функции на отрезке [-10; 5]?

Геометрия 11 класс Исследование функций исследование функции график функции максимальное значение минимальное значение функция y=5x-x^3 отрезок [-10; 5] геометрия 11 класс анализ функции экстремумы функции построение графика математический анализ Новый

Для исследования функции y = 5x - x^3 и построения ее графика, следуйте предложенному плану:

1. Определите область определения функции.

   Функция y = 5x - x^3 является многочленом, поэтому область определения - все действительные числа: D = R.

2. Найдите производную функции.

   Вычислим производную:

   • y' = 5 - 3x^2.
3. Найдите критические точки.

   Для этого приравняем производную к нулю:

   • 5 - 3x^2 = 0.
   • 3x^2 = 5.
   • x^2 = 5/3.
   • x = ±√(5/3).

   Таким образом, критические точки: x = √(5/3) и x = -√(5/3).

4. Исследуйте знаки производной.

   Определите, где функция возрастает, а где убывает:

   • Для x < -√(5/3): y' > 0 (функция возрастает).
   • Для -√(5/3) < x < √(5/3): y' < 0 (функция убывает).
   • Для x > √(5/3): y' > 0 (функция снова возрастает).
5. Найдите значения функции в критических точках и на границах отрезка.

   Теперь найдем значения функции в критических точках и на границах отрезка [-10; 5]:

   • y(-10) = 5*(-10) - (-10)^3 = -50 + 1000 = 950.
   • y(5) = 5*5 - 5^3 = 25 - 125 = -100.
   • y(√(5/3)) = 5*√(5/3) - (√(5/3))^3 = 5*√(5/3) - (5√(5/3))/3 = (15√(5/3))/3 - (5√(5/3))/3 = (10√(5/3))/3.
   • y(-√(5/3)) = 5*(-√(5/3)) - (-√(5/3))^3 = -5√(5/3) + (5√(5/3))/3 = (-15√(5/3))/3 + (5√(5/3))/3 = (-10√(5/3))/3.
6. Сравните найденные значения.

   Теперь сравните значения:

   • y(-10) = 950.
   • y(5) = -100.
   • y(√(5/3)) = (10√(5/3))/3 (приблизительно 8.16).
   • y(-√(5/3)) = (-10√(5/3))/3 (приблизительно -8.16).

   Максимальное значение функции на отрезке [-10; 5] равно 950, а минимальное значение равно -100.

7. Постройте график функции.

   Используя найденные значения, постройте график функции, отметив критические точки и значения функции на границах отрезка.

Таким образом, мы исследовали функцию, нашли ее максимальные и минимальные значения на заданном отрезке и подготовили данные для построения графика.