Как можно найти объем и площадь полной поверхности усечённого конуса, если высота составляет 24, образующая равна 25, а площадь осевого сечения равна 264?

Геометрия 11 класс Объем и площадь поверхности усечённого конуса объём усечённого конуса площадь поверхности усеченного конуса высота усеченного конуса Образующая усечённого конуса площадь осевого сечения формулы усеченного конуса Новый

Чтобы найти объем и площадь полной поверхности усеченного конуса, нам нужно использовать известные формулы и данные, которые у нас есть. Давайте разберем это шаг за шагом.

1. Определим радиусы оснований усеченного конуса.

Площадь осевого сечения (параллелограмма) равна 264. Площадь осевого сечения усеченного конуса можно выразить через радиусы оснований и высоту:

Площадь осевого сечения = (R + r) * h / 2,

где R - радиус верхнего основания, r - радиус нижнего основания, h - высота усеченного конуса.

Мы знаем, что высота h = 24, и подставляем это значение в формулу:

(R + r) * 24 / 2 = 264.

Упрощаем уравнение:

R + r = 264 * 2 / 24 = 22.

2. Найдем радиусы оснований.

Теперь у нас есть уравнение:

R + r = 22.

Также у нас есть образующая (наклонная высота) усеченного конуса, которая равна 25. Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы связать радиусы и высоту:

(R - r)² + h² = 25².

Подставляем h = 24:

(R - r)² + 24² = 25².

Это уравнение можно записать как:

(R - r)² + 576 = 625.

Отсюда получаем:

(R - r)² = 625 - 576 = 49.

Таким образом, R - r = 7 или R - r = -7 (но радиусы не могут быть отрицательными, поэтому оставляем R - r = 7).

3. Решим систему уравнений.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

• R + r = 22
• R - r = 7

Сложим эти два уравнения:

2R = 29,

R = 14.5.

Теперь подставим R в одно из уравнений, например, R + r = 22:

14.5 + r = 22,

r = 22 - 14.5 = 7.5.

4. Найдем объем усеченного конуса.

Объем V усеченного конуса можно найти по формуле:

V = (1/3) * π * h * (R² + Rr + r²).

Подставляем значения:

V = (1/3) * π * 24 * (14.5² + 14.5 * 7.5 + 7.5²).

Сначала найдем значения:

• 14.5² = 210.25
• 7.5² = 56.25
• 14.5 * 7.5 = 108.75

Теперь подставим в формулу:

V = (1/3) * π * 24 * (210.25 + 108.75 + 56.25) = (1/3) * π * 24 * 375.25.

Теперь можно вычислить объем:

V = 8 * π * 375.25 ≈ 3002.00 (если π ≈ 3.14).

5. Найдем площадь полной поверхности усеченного конуса.

Площадь полной поверхности S усеченного конуса вычисляется по формуле:

S = π(R² + r²) + π(R + r) * l,

где l - образующая (в нашем случае l = 25).

Подставляем значения:

S = π(14.5² + 7.5²) + π(22) * 25.

Сначала найдем значения:

S = π(210.25 + 56.25) + π(22 * 25).

S = π(266.50 + 550) = π * 816.50.

Теперь вычислим площадь:

S ≈ 2567.74 (если π ≈ 3.14).

Итак, итоговые результаты:

• Объем усеченного конуса ≈ 3002.00 кубических единиц.
• Площадь полной поверхности усеченного конуса ≈ 2567.74 квадратных единиц.