Как можно найти площадь основания конуса, если известна длина образующей, равная 2√3, и угол при вершине осевого сечения, равный 120 градусов?

Геометрия 11 класс Площадь основания конуса площадь основания конуса длина образующей угол при вершине осевое сечение геометрия 11 класс Новый

Чтобы найти площадь основания конуса, нам нужно сначала определить радиус основания. Для этого воспользуемся данными, которые у нас есть: длина образующей конуса и угол при вершине осевого сечения.

Шаг 1: Определение радиуса основания

В осевом сечении конуса образуется равнобедренный треугольник, где:

• длина образующей (l) равна 2√3;
• угол при вершине (α) равен 120 градусов.

Так как угол при вершине равен 120 градусов, мы можем разделить его пополам. Таким образом, угол, который мы будем использовать для вычислений, будет равен 60 градусов (120/2).

Шаг 2: Применение тригонометрии

В равнобедренном треугольнике, если мы проведем высоту, она будет делить основание пополам и образует два прямоугольных треугольника. В каждом из этих треугольников:

• гипотенуза равна l = 2√3;
• угол при основании равен 60 градусов;
• катет, который мы хотим найти (радиус основания r), будет противолежащим углу 60 градусов.

Используем синус для нахождения радиуса:

sin(60) = r / l, где l = 2√3.

Зная, что sin(60) = √3/2, мы можем записать:

√3/2 = r / (2√3).

Шаг 3: Решение уравнения

Теперь перемножим обе стороны на 2√3:

r = (√3/2) * (2√3) = √3 * √3 = 3.

Таким образом, радиус основания r равен 3.

Шаг 4: Нахождение площади основания

Площадь основания конуса (S) вычисляется по формуле:

S = π * r².

Подставим значение радиуса:

S = π * (3)² = π * 9 = 9π.

Ответ: Площадь основания конуса равна 9π.