Чтобы найти размеры сторон основания прямоугольного параллелепипеда, давайте обозначим длины сторон основания как a и b, а высоту параллелепипеда как h. Мы знаем следующие данные:

• Площадь одной смежной боковой грани (площадь, которая включает сторону a и высоту h) равна 15 см²: ah = 15.
• Площадь другой смежной боковой грани (площадь, которая включает сторону b и высоту h) равна 20 см²: bh = 20.
• Длина диагонали параллелепипеда равна 5√2: √(a² + b² + h²) = 5√2.

Теперь у нас есть три уравнения:

1. ah = 15
2. bh = 20
3. √(a² + b² + h²) = 5√2

Сначала выразим высоту h из первых двух уравнений:

1. Из первого уравнения: h = 15/a.
2. Из второго уравнения: h = 20/b.

Теперь приравняем оба выражения для h:

15/a = 20/b

Перемножим обе стороны на ab:

15b = 20a

Теперь упростим это уравнение:

3b = 4a

Отсюда можно выразить b через a:

b = (4/3)a

Теперь подставим это значение b в одно из выражений для h. Например, подставим в h = 15/a:

h = 15/a

Теперь подставим b в третье уравнение:

Сначала выразим h через a:

h = 20/b = 20/(4/3)a = 15/a

Теперь подставим все в уравнение для диагонали:

√(a² + (4/3)a)² + (15/a)² = 5√2

Упростим это уравнение:

√(a² + (16/9)a² + (225/a²)) = 5√2

Теперь избавимся от корня, возведя обе стороны в квадрат:

a² + (16/9)a² + (225/a²) = 50

Теперь умножим на a², чтобы избавиться от дроби:

a⁴ + (16/9)a⁴ + 225 = 50a²

Теперь соберем все в одно уравнение:

(25/9)a⁴ - 50a² + 225 = 0

Теперь это квадратное уравнение относительно a². Решите его, используя дискриминант или другие методы. После нахождения a, подставьте его значение в уравнения для b и h, чтобы найти размеры сторон основания.