Как можно найти размеры сторон основания прямоугольного параллелепипеда, зная, что площади его смежных боковых граней составляют 15 см² и 20 см², а диагональ параллелепипеда равна 5√2?

Геометрия 11 класс Параллелепипед прямоугольный параллелепипед размеры сторон площади боковых граней диагональ параллелепипеда решение задачи по геометрии Новый

Чтобы найти размеры сторон основания прямоугольного параллелепипеда, давайте обозначим длины сторон основания как a и b, а высоту параллелепипеда как h. Мы знаем следующие данные:

• Площадь одной смежной боковой грани (площадь, которая включает сторону a и высоту h) равна 15 см²: ah = 15.
• Площадь другой смежной боковой грани (площадь, которая включает сторону b и высоту h) равна 20 см²: bh = 20.
• Длина диагонали параллелепипеда равна 5√2: √(a² + b² + h²) = 5√2.

Теперь у нас есть три уравнения:

1. ah = 15
2. bh = 20
3. √(a² + b² + h²) = 5√2

Сначала выразим высоту h из первых двух уравнений:

1. Из первого уравнения: h = 15/a.
2. Из второго уравнения: h = 20/b.

Теперь приравняем оба выражения для h:

15/a = 20/b

Перемножим обе стороны на ab:

15b = 20a

Теперь упростим это уравнение:

3b = 4a

Отсюда можно выразить b через a:

b = (4/3)a

Теперь подставим это значение b в одно из выражений для h. Например, подставим в h = 15/a:

h = 15/a

Теперь подставим b в третье уравнение:

Сначала выразим h через a:

h = 20/b = 20/(4/3)a = 15/a

Теперь подставим все в уравнение для диагонали:

√(a² + (4/3)a)² + (15/a)² = 5√2

Упростим это уравнение:

√(a² + (16/9)a² + (225/a²)) = 5√2

Теперь избавимся от корня, возведя обе стороны в квадрат:

a² + (16/9)a² + (225/a²) = 50

Теперь умножим на a², чтобы избавиться от дроби:

a⁴ + (16/9)a⁴ + 225 = 50a²

Теперь соберем все в одно уравнение:

(25/9)a⁴ - 50a² + 225 = 0

Теперь это квадратное уравнение относительно a². Решите его, используя дискриминант или другие методы. После нахождения a, подставьте его значение в уравнения для b и h, чтобы найти размеры сторон основания.