Как можно найти уравнения общих касательных для двух эллипсов: 1) x²/6 + y² = 1 и 2) x²/4 + y²/9 = 1?

Геометрия 11 класс Уравнения касательных к кривым второго порядка уравнения общих касательных эллипсы геометрия 11 класс касательные к эллипсам математика задачи по геометрии Новый

Чтобы найти уравнения общих касательных для двух эллипсов, необходимо выполнить несколько шагов. Давайте разберем процесс поэтапно.

Шаг 1: Запишем уравнения эллипсов.

• Первый эллипс: x²/6 + y² = 1
• Второй эллипс: x²/4 + y²/9 = 1

Шаг 2: Приведем уравнения к стандартному виду.

Первый эллипс можно записать как:

x²/(6) + y²/(1) = 1, где a² = 6 и b² = 1.

Второй эллипс можно записать как:

x²/(4) + y²/(9) = 1, где a² = 4 и b² = 9.

Шаг 3: Определим уравнения касательных.

Общее уравнение касательной к эллипсу имеет вид:

y = mx + c, где m — угловой коэффициент, а c — свободный член.

Подставляя это уравнение в уравнения эллипсов, мы можем найти условия, при которых касательная будет касаться эллипса.

Шаг 4: Подставим уравнение касательной в уравнение первого эллипса.

Подставим y = mx + c в первое уравнение:

x²/6 + (mx + c)² = 1.

Раскроем скобки и соберем все в одно уравнение:

(1/6)x² + m²x² + 2mcx + c² - 1 = 0.

Это квадратное уравнение относительно x. Чтобы касательная касалась эллипса, дискриминант этого уравнения должен равняться нулю:

D = (2mc)² - 4 * (1/6 + m²) * (c² - 1) = 0.

Шаг 5: Аналогично, подставим уравнение касательной во второе уравнение эллипса.

Теперь подставим y = mx + c во второе уравнение:

x²/4 + (mx + c)²/9 = 1.

Также раскроем скобки и соберем в одно уравнение:

(1/4)x² + (m²/9)x² + (2mc/9)x + (c²/9) - 1 = 0.

Для этого уравнения также необходимо, чтобы дискриминант равнялся нулю:

D = (2mc/9)² - 4 * (1/4 + m²/9) * (c²/9 - 1) = 0.

Шаг 6: Решим систему уравнений.

Теперь у нас есть два уравнения для дискриминантов. Мы можем решить их одновременно, чтобы найти значения m и c, которые дадут нам уравнения общих касательных.

Шаг 7: Найдем уравнения касательных.

После нахождения m и c, мы можем подставить их обратно в уравнение y = mx + c, чтобы получить уравнения касательных.

Таким образом, мы получим уравнения общих касательных для двух эллипсов. Этот процесс может быть достаточно сложным, но он основан на использовании уравнений касательных и условий касания. Если у вас есть конкретные значения для m и c, мы можем продолжить и найти окончательные уравнения касательных.