Для определения высоты конуса, зная периметр осевого сечения и угол развертки боковой поверхности, следуем следующим шагам:

Осевое сечение конуса представляет собой треугольник, где:

• одна сторона - это радиус основания конуса (r),
• другая сторона - это высота конуса (h),
• третья сторона - это образующая конуса (l).

Периметр осевого сечения равен сумме всех сторон треугольника:

P = r + h + l.

Угол развертки боковой поверхности конуса равен 45°. Это значит, что при развертке конуса боковая поверхность образует равнобедренный треугольник, где угол между образующей и высотой равен 45°.

В этом случае, по свойствам треугольника, мы можем сказать, что:

h = r.

Теперь подставим h = r в формулу периметра:

P = r + h + l = r + r + l = 2r + l.

Мы знаем, что P = 9 см, тогда:

2r + l = 9.

Для нахождения образующей l, используем теорему Пифагора в нашем треугольнике:

l = √(r^2 + h^2).

Так как h = r, подставляем это в формулу:

l = √(r^2 + r^2) = √(2r^2) = r√2.

Теперь подставим l в уравнение с периметром:

2r + r√2 = 9.

Соберем все слагаемые:

r(2 + √2) = 9.

Теперь найдем r:

r = 9 / (2 + √2).

Так как h = r, подставим найденное значение r:

h = 9 / (2 + √2).

Теперь мы можем вычислить численное значение высоты, если это необходимо. Однако, мы уже нашли выражение для высоты конуса:

h = 9 / (2 + √2).

Таким образом, высота конуса равна 9 / (2 + √2) см.