Как можно рассчитать площадь полной поверхности треугольной пирамиды, если три смежных ребра равны 6 см, 6 см и 8 см и при этом попарно перпендикулярны? Также, каким образом можно вычислить площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды с боковым ребром 10 см и стороной основания 12 см? И, наконец, как можно определить площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда, если стороны основания составляют 3 см и 5 см, а большая диагональ боковых граней образует угол 60 градусов с плоскостью основания?

Геометрия 11 класс Площадь поверхности многогранников площадь полной поверхности треугольная пирамида смежные ребра перпендикулярные ребра правильная треугольная пирамида боковое ребро сторона основания прямоугольный параллелепипед стороны основания большая диагональ угол 60 градусов геометрические расчеты Новый

Давайте разберем все три вопроса по порядку.

1. Площадь полной поверхности треугольной пирамиды с ребрами 6 см, 6 см и 8 см.

Для начала, мы имеем треугольную пирамиду, основание которой является прямоугольным треугольником. Ребра 6 см и 6 см являются катетами, а 8 см - гипотенузой. Площадь основания (S основание) можно найти по формуле для площади прямоугольного треугольника:

• S основание = (1/2) * a * b, где a и b - катеты.

Подставляем значения:

• S основание = (1/2) * 6 * 6 = 18 см².

Теперь нам нужно найти площадь боковых граней. У нас есть три боковые грани, которые являются треугольниками. Для каждой грани мы можем использовать формулу для площади треугольника:

• S = (1/2) * основание * высота.

Для первой грани, где основание 6 см, высота равна 6 см:

• S1 = (1/2) * 6 * 6 = 18 см².

Для второй грани, где основание 6 см, высота равна 8 см:

• S2 = (1/2) * 6 * 8 = 24 см².

Для третьей грани, где основание 8 см, высота равна 6 см:

• S3 = (1/2) * 8 * 6 = 24 см².

Теперь найдем общую площадь боковых граней:

• S боковые = S1 + S2 + S3 = 18 + 24 + 24 = 66 см².

Теперь можно найти площадь полной поверхности:

• S полная = S основание + S боковые = 18 + 66 = 84 см².

2. Площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды с боковым ребром 10 см и стороной основания 12 см.

Сначала найдем площадь основания. Поскольку основание правильное, мы можем использовать формулу для площади равностороннего треугольника:

• S основание = (sqrt(3) / 4) * a², где a - сторона основания.

Подставляем значение:

• S основание = (sqrt(3) / 4) * 12² = (sqrt(3) / 4) * 144 = 36sqrt(3) см².

Теперь найдем высоту боковой грани. Для этого используем теорему Пифагора. Высота h боковой грани можно найти по формуле:

• h = sqrt(боковое ребро² - (a/2)²), где a - сторона основания.

Подставляем значения:

• h = sqrt(10² - (12/2)²) = sqrt(100 - 36) = sqrt(64) = 8 см.

Теперь найдем площадь боковой грани. Боковая грань является треугольником с основанием 12 см и высотой 8 см:

• S боковая = (1/2) * 12 * 8 = 48 см².

Поскольку у нас 3 боковые грани, общая площадь боковых граней будет:

• S боковые = 3 * S боковая = 3 * 48 = 144 см².

Теперь находим площадь полной поверхности:

• S полная = S основание + S боковые = 36sqrt(3) + 144 см².

3. Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда с основаниями 3 см и 5 см, и углом 60 градусов между диагональю боковых граней и плоскостью основания.

Сначала найдем площадь основания:

• S основание = a * b = 3 * 5 = 15 см².

Теперь найдем площадь боковых граней. Параллелепипед имеет 4 боковые грани. Две из них будут прямоугольниками с размерами 3 см и высотой h, а другие две - с размерами 5 см и высотой h.

Чтобы найти высоту h, используем угол 60 градусов. Зная, что косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе, мы можем записать:

• cos(60) = (основание) / (диагональ).

Гипотенузой будет диагональ боковой грани, которую можно найти по формуле:

• диагональ = sqrt(a² + h²).

Подставляем значения:

• cos(60) = 1/2 = 3 / sqrt(3² + h²).

Решая это уравнение, найдем h:

• sqrt(3² + h²) = 6,
• 9 + h² = 36,
• h² = 27, h = 3sqrt(3) см.

Теперь можем найти площади боковых граней:

• S1 = 3 * h = 3 * 3sqrt(3) = 9sqrt(3) см²,
• S2 = 5 * h = 5 * 3sqrt(3) = 15sqrt(3) см².

Общая площадь боковых граней:

• S боковые = 2 * S1 + 2 * S2 = 2 * (9sqrt(3) + 15sqrt(3)) = 48sqrt(3) см².

Теперь находим площадь полной поверхности:

• S полная = S основание + S боковые = 15 + 48sqrt(3) см².

Таким образом, мы рассчитали площади полной поверхности всех трех фигур.