Давайте решим каждую из задач по порядку.

Задача 1: Дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом В, АМ - отрезок, перпендикулярный его плоскости. Найдите АМ, если АВ = 3, ВС = 4, МС = 13.

1. Сначала найдем длину стороны АС. Поскольку треугольник ABC прямоугольный, мы можем использовать теорему Пифагора:
• АС² = АВ² + ВС²
• АС² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
• АС = √25 = 5.
2. Теперь у нас есть треугольник АМС, где АМ - перпендикуляр к плоскости треугольника ABC. Мы можем использовать теорему Пифагора в треугольнике АМС:
• МС² = АМ² + АС².
• 13² = АМ² + 5².
• 169 = АМ² + 25.
• АМ² = 169 - 25 = 144.
• АМ = √144 = 12.

Таким образом, длина отрезка АМ равна 12.

Задача 2: В остроугольном треугольнике АВ, где ВС = √31, АС = 6, угол ВАС = 60 градусов. Найдите длину стороны АВ.

1. Для решения этой задачи мы можем использовать теорему косинусов:
• АВ² = АС² + ВС² - 2 * АС * ВС * cos(∠ВАС).
2. Подставим известные значения:
• АВ² = 6² + (√31)² - 2 * 6 * √31 * cos(60°).
• АВ² = 36 + 31 - 2 * 6 * √31 * 0.5.
• АВ² = 36 + 31 - 6 * √31.
• АВ² = 67 - 6 * √31.
3. Теперь найдем длину стороны АВ:
• АВ = √(67 - 6 * √31).

Таким образом, длина стороны АВ равна √(67 - 6 * √31).

Задача 3: Из одной точки проведены к окружности две касательные. Длина касательной равна 12, расстояние между точками касания равно 14,4. Найдите радиус окружности.

1. Обозначим радиус окружности как R. Поскольку длина касательной равна 12, мы можем использовать теорему о касательной и радиусе:
• R² + 12² = расстояние от точки до центра окружности в квадрате.
2. Расстояние между точками касания равно 14,4, и это равно удвоенному радиусу, то есть:
• 2R = 14,4.
• R = 7,2.
3. Теперь найдем расстояние от точки до центра окружности:
• d = √(R² + 12²) = √(7,2² + 12²).
• d = √(51.84 + 144) = √195.84.

Таким образом, радиус окружности равен 7,2.

Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать их!