Как можно составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояний до точки F(5;2) и прямой x=-2 равно 1?

Геометрия 11 класс Уравнения конусовидных сечений уравнение линии расстояние до точки геометрия 11 класс отношение расстояний точка F(5;2) прямая x=-2 задача по геометрии Новый

Для решения этой задачи начнем с понимания того, что нам нужно найти уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояний до заданной точки F(5;2) и прямой x=-2 равно 1.

Обозначим произвольную точку на искомой линии как P(x; y). Теперь определим расстояния:

• Расстояние от точки P до точки F(5; 2): Это расстояние можно вычислить по формуле расстояния между двумя точками:
• d1 = √((x - 5)² + (y - 2)²)
• Расстояние от точки P до прямой x = -2: Поскольку прямая x = -2 вертикальная, расстояние от точки P до этой прямой равно:
• d2 = |x + 2|

Теперь мы можем записать условие, что отношение этих расстояний равно 1:

Таким образом, у нас есть уравнение:

d1 / d2 = 1

Подставим выражения для d1 и d2:

√((x - 5)² + (y - 2)²) / |x + 2| = 1

Теперь умножим обе стороны уравнения на |x + 2| (при условии, что x + 2 не равно 0, чтобы избежать деления на ноль):

√((x - 5)² + (y - 2)²) = |x + 2|

Теперь нам нужно рассмотреть два случая для |x + 2|:

1. Случай 1: x + 2 >= 0 (то есть x >= -2):
• Тогда |x + 2| = x + 2. Уравнение становится:
• √((x - 5)² + (y - 2)²) = x + 2
2. Случай 2: x + 2 < 0 (то есть x < -2):
• Тогда |x + 2| = -(x + 2). Уравнение становится:
• √((x - 5)² + (y - 2)²) = -(x + 2)

Теперь решим оба случая.

Случай 1:

Квадратируем обе стороны уравнения:

(x - 5)² + (y - 2)² = (x + 2)²

Раскроем скобки:

(x² - 10x + 25) + (y² - 4y + 4) = (x² + 4x + 4)

Сократим x² с обеих сторон:

-10x + 25 + y² - 4y + 4 = 4x + 4

Приведем подобные:

y² - 4y - 14x + 25 = 0

Случай 2:

Квадратируем обе стороны уравнения:

(x - 5)² + (y - 2)² = -(x + 2)²

Однако это уравнение не имеет смысла, так как левая часть всегда положительна, а правая — отрицательна. Следовательно, этот случай не дает решения.

Таким образом, у нас остается только уравнение из первого случая:

y² - 4y - 14x + 25 = 0

Это уравнение описывает искомую линию, для каждой точки которой отношение расстояний до точки F(5; 2) и прямой x = -2 равно 1.