Как можно составить уравнение прямой, проходящей через точку (3, -1, 4), которая пересекает ось Oy и параллельна плоскости y + 2z = 0?

Геометрия 11 класс Уравнения прямой в пространстве уравнение прямой точка (3 -1 4) пересечение оси OY параллельная плоскости геометрия 11 класс Новый

Чтобы составить уравнение прямой, проходящей через заданную точку и параллельной плоскости, необходимо выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Определение нормали плоскости

Плоскость задана уравнением y + 2z = 0. Чтобы найти направление, в котором будет двигаться прямая, нам нужна нормаль к этой плоскости. Нормаль можно определить по коэффициентам при x, y и z в уравнении плоскости.

Уравнение плоскости можно записать в виде:

0 * x + 1 * y + 2 * z = 0

Следовательно, вектор нормали к плоскости будет равен (0, 1, 2).

Шаг 2: Определение направления прямой

Поскольку прямая должна быть параллельна плоскости, ее направление будет перпендикулярно нормали плоскости. Для нахождения направления прямой можно выбрать вектор, который не является нормалью. Например, можно взять вектор (1, 0, -0.5), который не будет коллинеарен (0, 1, 2).

Шаг 3: Составление параметрического уравнения прямой

Теперь, имея точку (3, -1, 4) и направление (1, 0, -0.5), мы можем записать параметрическое уравнение прямой:

• x = 3 + t
• y = -1 + 0 * t = -1
• z = 4 - 0.5t

где t - параметр, который изменяется по всему множеству действительных чисел.

Шаг 4: Нахождение точки пересечения с осью Oy

Чтобы найти точку пересечения с осью Oy, необходимо установить x = 0. Подставим это значение в уравнение:

0 = 3 + t

Отсюда получаем t = -3.

Теперь подставим t в уравнения для y и z:

• y = -1
• z = 4 - 0.5 * (-3) = 4 + 1.5 = 5.5

Таким образом, точка пересечения с осью Oy будет (0, -1, 5.5).

Шаг 5: Запись уравнения прямой в векторной форме

Теперь мы можем записать уравнение прямой, проходящей через точку (3, -1, 4) и имеющей направление (1, 0, -0.5):

r(t) = (3, -1, 4) + t(1, 0, -0.5).

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку (3, -1, 4) и параллельной плоскости y + 2z = 0, будет иметь вид:

• x = 3 + t
• y = -1
• z = 4 - 0.5t