Как можно вычислить площадь осевого сечения конуса и его объем, если образующая конуса равна 32 см и наклонена к плоскости основания под углом 45⁰?

Геометрия 11 класс Площадь и объем конуса площадь осевого сечения конуса объем конуса образующая конуса угол наклона конуса геометрия 11 класс Новый

Чтобы вычислить площадь осевого сечения конуса и его объем, начнем с анализа данных, которые у нас есть.

Дано:

• Образующая конуса (l) = 32 см
• Угол наклона образующей к плоскости основания (α) = 45°

1. Найдем радиус основания конуса (R).

Образующая конуса, радиус основания и высота образуют прямоугольный треугольник. Мы можем использовать тригонометрию для нахождения радиуса.

В прямоугольном треугольнике:

• sin(α) = противолежащий катет / гипотенуза
• cos(α) = прилежащий катет / гипотенуза

Поскольку угол α = 45°, мы имеем:

• sin(45°) = cos(45°) = √2 / 2

Теперь, используя образующую (гипотенузу) и угол, можем найти радиус основания:

1. R = l * cos(α) = 32 см * (√2 / 2) = 32√2 / 2 см = 16√2 см.

2. Теперь найдем высоту конуса (h).

Используя тот же треугольник, можем найти высоту конуса:

1. h = l * sin(α) = 32 см * (√2 / 2) = 32√2 / 2 см = 16√2 см.

3. Теперь вычислим объем конуса (V).

Формула для объема конуса:

V = (1/3) * π * R² * h

Подставим найденные значения:

1. R² = (16√2)² = 256 * 2 = 512 см².
2. V = (1/3) * π * 512 см² * 16√2 см.
3. V = (1/3) * π * 8192√2 см³.

4. Теперь найдем площадь осевого сечения (S).

Площадь осевого сечения конуса равна площади треугольника, основание которого равно диаметру основания конуса, а высота равна высоте конуса:

1. Диаметр основания = 2R = 2 * 16√2 = 32√2 см.
2. Площадь треугольника S = (1/2) * основание * высота = (1/2) * (32√2) * (16√2) = (1/2) * 32 * 16 * 2 = 512 см².

Ответ:

• Площадь осевого сечения конуса = 512 см².
• Объем конуса V = (8192/3)π√2 см³.