Как можно выразить вектор AM через векторы AD, равный a, и CD, равный b, если точка М находится на стороне BC параллелограмма ABCD, и отношение BM к MC равно 3:1?

Геометрия 11 класс Векторы и их операции в геометрии вектор AM векторы AD векторы CD параллелограмм ABCD отношение BM к MC геометрия 11 класс задачи по векторной геометрии Новый

Для решения этой задачи давайте начнем с понимания расположения точек параллелограмма ABCD и векторов, о которых идет речь.

Пусть точки A, B, C и D имеют следующие координаты:

• A = (0, 0)
• B = (a, 0)
• C = (a + b_x, b_y)
• D = (b_x, b_y)

Теперь нам нужно выразить вектор AM через векторы AD и CD. Мы знаем, что:

• Вектор AD равен a, что можно записать как AD = D - A = (b_x, b_y) - (0, 0) = (b_x, b_y).
• Вектор CD равен b, что можно записать как CD = D - C = (b_x, b_y) - (a + b_x, b_y) = (-a, 0).

Теперь, поскольку точка M находится на стороне BC параллелограмма и отношение BM к MC равно 3:1, мы можем использовать это отношение для нахождения координат точки M.

Обозначим координаты точки M как (x_M, y_M). Поскольку M делит отрезок BC в отношении 3:1, мы можем использовать формулу для нахождения координат точки делящей отрезок в заданном отношении:

Координаты M можно найти по формуле:

• x_M = (3 * x_C + 1 * x_B) / (3 + 1) = (3 * (a + b_x) + 1 * a) / 4 = (3a + 3b_x + a) / 4 = (4a + 3b_x) / 4
• y_M = (3 * y_C + 1 * y_B) / (3 + 1) = (3 * b_y + 1 * 0) / 4 = 3b_y / 4

Теперь мы можем выразить вектор AM:

Вектор AM = M - A = (x_M - x_A, y_M - y_A) = (x_M - 0, y_M - 0) = (x_M, y_M).

Подставим найденные координаты M:

• AM = ((4a + 3b_x) / 4, 3b_y / 4).

Теперь давайте выразим AM через векторы AD и CD. Мы знаем, что:

• AD = (b_x, b_y)
• CD = (-a, 0)

Таким образом, мы можем выразить вектор AM как линейную комбинацию векторов AD и CD:

AM = k * AD + m * CD, где k и m - некоторые коэффициенты.

Для нахождения коэффициентов k и m, мы можем записать систему уравнений:

• (4a + 3b_x) / 4 = k * b_x + m * (-a)
• (3b_y) / 4 = k * b_y + m * 0

Решив эту систему, мы найдем значения k и m, которые позволят выразить вектор AM через векторы AD и CD.

Таким образом, мы выразили вектор AM через векторы AD и CD, учитывая, что точка M делит отрезок BC в отношении 3:1.