Для того чтобы найти диагональ BD трапеции ABCD, воспользуемся свойствами касательной и окружности, описанной около треугольника.

Давайте разберем задачу по шагам:

1. Определим известные данные:
   • Основания трапеции ABCD равны a и b.
   • Окружность проходит через вершины B, C и D, и касается стороны AB в точке B.
2. Используем свойства окружности:
   • Поскольку окружность касается стороны AB в точке B, то отрезок AB является радиусом окружности в точке касания.
   • Это значит, что угол между касательной AB и радиусом, проведенным в точку B, равен 90 градусам.
3. Рассмотрим треугольник BCD:
   • В этом треугольнике мы можем использовать теорему о косинусах для нахождения длины диагонали BD.
   • Для этого нам нужно знать длины сторон BC и CD, а также угол BCD.
4. Определим длины сторон:
   • Сторона BC равна (a - b)/2, так как трапеция равнобедренная.
   • Сторона CD также равна (a - b)/2.
5. Найдем угол BCD:
   • Угол BCD равен 90 градусов, так как AB является касательной.
6. Применим теорему косинусов:
   • Согласно теореме косинусов, для треугольника BCD мы можем записать: BD² = BC² + CD² - 2 * BC * CD * cos(BCD).
   • Подставим значения: BD² = ((a - b)/2)² + ((a - b)/2)² - 2 * ((a - b)/2) * ((a - b)/2) * cos(90°).
   • Поскольку cos(90°) = 0, то упростим выражение: BD² = ((a - b)/2)² + ((a - b)/2)² = 2 * ((a - b)/2)² = (a - b)²/2.
7. Вычислим длину диагонали BD:
   • Теперь найдём BD: BD = √((a - b)²/2) = (a - b)/√2.

Таким образом, длина диагонали BD равна (a - b)/√2.