Как найти длину окружности, вписанной в ромб ABCD, если его периметр составляет 30 см, а тупой угол при вершине B равен 2arctg2, и из вершины B проведены высоты BM и BN?

Геометрия 11 класс Вписанная окружность в четырехугольник длина окружности ромб ABCD периметр 30 см тупой угол B высоты BM и BN Новый

Для нахождения длины окружности, вписанной в ромб ABCD, нам нужно сначала определить его стороны и радиус вписанной окружности.

Шаг 1: Найдем длину стороны ромба.

Периметр ромба равен 30 см. Поскольку ромб имеет 4 равные стороны, длину одной стороны (a) можно найти по формуле:

• Периметр = 4 * a
• 30 = 4 * a
• a = 30 / 4 = 7.5 см

Шаг 2: Найдем высоту BM.

Тупой угол при вершине B равен 2arctg(2). Это означает, что мы можем использовать тригонометрию для нахождения высоты BM. В ромбе высота BM делит угол B пополам, поэтому угол при вершине B равен 2arctg(2).

Мы можем обозначить угол при вершине B как α, тогда:

• α = arctg(2)

Теперь высота BM можно найти через сторону ромба и угол α:

• BM = a * sin(α)
• BM = 7.5 * sin(arctg(2))

Для нахождения sin(arctg(2)) нам нужно использовать тригонометрические соотношения. Если tg(α) = 2, то мы можем представить это как:

• Противолежащий катет = 2
• Прилежащий катет = 1
• Гипотенуза = √(2^2 + 1^2) = √5

Таким образом, sin(α) = Противолежащий / Гипотенуза = 2 / √5.

Теперь подставим это значение:

• BM = 7.5 * (2 / √5) = 15 / √5 см.

Шаг 3: Найдем радиус вписанной окружности.

Радиус r вписанной окружности ромба можно найти по формуле:

• r = BM = 15 / √5 см.

Шаг 4: Найдем длину окружности.

Длина окружности, вписанной в ромб, определяется по формуле:

• C = 2 * π * r

Теперь подставим значение r:

• C = 2 * π * (15 / √5) см.

Таким образом, длина окружности, вписанной в ромб ABCD, равна 30π / √5 см.