Как найти двугранный угол ABCD тетраэдра ABCD, если углы DAB, DAC и ACB являются прямыми, AC = CB = 5, а DB = 5√5?

Геометрия 11 класс Двугранные углы и тетраэдры Двугранный угол тетраэдр ABCD углы DAB DAC ACB прямые углы AC CB = 5 DB = 5√5 геометрия тетраэдра Новый

Чтобы найти двугранный угол ABCD тетраэдра ABCD, где углы DAB, DAC и ACB являются прямыми, а также известны длины сторон AC, CB и DB, следуем следующим шагам:

1. Определим координаты точек:
   • Пусть точка A находится в начале координат, то есть A(0, 0, 0).
   • Так как угол DAB прямой и AB перпендикулярен AD, выберем точку D на оси Z: D(0, 0, h), где h - высота, которую мы определим позже.
   • Точку B можно разместить на оси X: B(b, 0, 0), где b - длина отрезка AB.
   • Точка C будет находиться на оси Y: C(0, c, 0), где c - длина отрезка AC.
2. Используем известные длины:
   • Зная, что AC = 5, получаем координаты C(0, 5, 0).
   • Так как CB = 5, мы можем найти b. Используем теорему Пифагора: BC = √((b - 0)² + (0 - 5)²) = 5. Это уравнение преобразуется в: b² + 25 = 25, откуда b² = 0, следовательно, b = 0. То есть B(0, 0, 0).
   • Теперь определим точку D. У нас есть DB = 5√5. Используем теорему Пифагора: DB = √((0 - 0)² + (0 - 0)² + (h - 0)²) = 5√5. Это уравнение дает h = 5√5.
3. Подставляем координаты:
   • A(0, 0, 0), B(0, 0, 0), C(0, 5, 0), D(0, 0, 5√5).
4. Находим векторы:
   • Вектор AB = B - A = (0 - 0, 0 - 0, 0 - 0) = (0, 0, 0).
   • Вектор AC = C - A = (0 - 0, 5 - 0, 0 - 0) = (0, 5, 0).
   • Вектор AD = D - A = (0 - 0, 0 - 0, 5√5 - 0) = (0, 0, 5√5).
5. Находим угол между плоскостями:
   • Плоскость ABC и плоскость ABD. Для этого используем векторы:
   • Найдём нормали к плоскостям. Нормаль к плоскости ABC: N1 = AC × AB = (0, 5, 0) × (0, 0, 0) = (0, 0, 0).
   • Нормаль к плоскости ABD: N2 = AB × AD = (0, 0, 0) × (0, 0, 5√5) = (0, 0, 0).
   • Поскольку векторы нормалей равны нулю, это указывает на то, что угол между плоскостями равен 90°.

Итак, двугранный угол ABCD равен 90°.