Как найти двугранный угол ABCD тетраэдра ABCD, если углы DAB, DAC и ACB являются прямыми, AC и CB равны 5, а DB равно 5√5?

Геометрия 11 класс Двугранные углы тетраэдра Двугранный угол тетраэдр ABCD углы DAB DAC ACB AC CB равны 5 DB равно 5√5 Новый

Чтобы найти двугранный угол ABCD тетраэдра ABCD, нужно сначала определить координаты точек A, B, C и D, используя данные о прямых углах и длинах отрезков.

Шаг 1: Определение координат точек A, B и C.

• Пусть точка A находится в начале координат: A(0, 0, 0).
• Поскольку угол DAB является прямым, можно расположить точку B на оси X: B(5, 0, 0), так как AB = 5.
• Точка C будет находиться на оси Y, так как угол DAC также прямой: C(0, 5, 0), так как AC = 5.

Шаг 2: Определение координат точки D.

• У нас есть угол ACB, который также является прямым, поэтому вектор AC перпендикулярен вектору AB.
• Теперь нужно найти координаты точки D. У нас есть длина DB, равная 5√5. Сначала найдем координаты D в плоскости XY.
• Пусть D имеет координаты D(x, y, z). Используя теорему Пифагора, можно записать уравнение для длины DB:

Шаг 3: Составление уравнения для DB.

• DB = √((x - 5)² + (y - 0)² + (z - 0)²) = 5√5.
• Квадратируем обе стороны:
• (x - 5)² + y² + z² = 125.

Шаг 4: Положение точки D.

• Так как D находится в пространстве, но мы знаем, что углы DAB и DAC являются прямыми, это означает, что D будет находиться по вертикали от точки A, то есть z = h (высота).
• Таким образом, мы можем подставить z = h в уравнение:
• (x - 5)² + y² + h² = 125.
• Поскольку D также должно быть перпендикулярно к плоскости ABC, можно взять x = 5 и y = 0, что упрощает уравнение до h² = 125, следовательно, h = 5√5.

Шаг 5: Определение координат точки D.

• Теперь у нас есть координаты всех точек:
• A(0, 0, 0), B(5, 0, 0), C(0, 5, 0), D(5, 0, 5√5).

Шаг 6: Находим двугранный угол ABCD.

• Двугранный угол ABCD можно найти с помощью векторов AB и AC:
• Вектор AB = (5, 0, 0) - (0, 0, 0) = (5, 0, 0).
• Вектор AC = (0, 5, 0) - (0, 0, 0) = (0, 5, 0).
• Вектор AD = (5, 0, 5√5) - (0, 0, 0) = (5, 0, 5√5).

Теперь мы можем использовать формулу для нахождения угла между двумя векторами:

• cos(φ) = (AB • AC) / (|AB| * |AC|),
• где φ - искомый угол.

Так как векторы AB и AC перпендикулярны, угол между ними равен 90 градусам. Таким образом, двугранный угол ABCD также равен 90 градусам.

Ответ: Двугранный угол ABCD равен 90 градусов.