Как найти главную нормаль кривой r(t)=acost*i+asint*j+t*k, где a - константа, если она перпендикулярна вектору a=i-j+3*k?

Геометрия 11 класс Кривые в пространстве главная нормаль кривая r(t) A константа вектор перпендикулярность геометрия векторное исчисление математический анализ Новый

Чтобы найти главную нормаль кривой, заданной векторной функцией r(t) = a*cos(t)*i + a*sin(t)*j + t*k, необходимо выполнить несколько шагов. Главная нормаль кривой - это вектор, который указывает направление, перпендикулярное касательной к кривой, и направлен в сторону изменения направления кривой. Давайте разберем процесс по шагам.

Шаг 1: Найти производную вектора r(t)

Сначала найдем производную r(t) по времени t, чтобы получить вектор скорости, который будет касательным вектором к кривой:

• r'(t) = d(r(t))/dt = d(a*cos(t)*i + a*sin(t)*j + t*k)/dt
• r'(t) = -a*sin(t)*i + a*cos(t)*j + k

Шаг 2: Найти нормаль

Теперь мы найдем вектор ускорения, который является производной вектора скорости:

• r''(t) = d(r'(t))/dt = d(-a*sin(t)*i + a*cos(t)*j + k)/dt
• r''(t) = -a*cos(t)*i - a*sin(t)*j + 0*k

Шаг 3: Найти главную нормаль

Главная нормаль N(t) вычисляется как нормализованный вектор ускорения:

• N(t) = r''(t) / ||r''(t)||
• где ||r''(t)|| - это длина вектора r''(t).

Шаг 4: Найти длину вектора ускорения

Для нахождения длины вектора r''(t) = -a*cos(t)*i - a*sin(t)*j, вычислим:

• ||r''(t)|| = sqrt((-a*cos(t))^2 + (-a*sin(t))^2) = sqrt(a^2*(cos^2(t) + sin^2(t))) = a.

Шаг 5: Нормализация вектора ускорения

Теперь найдем нормализованный вектор:

• N(t) = r''(t) / a = (-cos(t)*i - sin(t)*j).

Шаг 6: Условия перпендикулярности

Мы знаем, что главная нормаль N(t) должна быть перпендикулярна вектору a = i - j + 3k. Для этого нужно, чтобы скалярное произведение N(t) и a было равно нулю:

• (-cos(t)*i - sin(t)*j) • (i - j + 3k) = 0.
• Это уравнение можно упростить:
• -cos(t) + sin(t) = 0.

Шаг 7: Решение уравнения

Решим уравнение:

• sin(t) = cos(t).
• Это означает, что tan(t) = 1.
• Следовательно, t = π/4 + nπ, где n - целое число.

Таким образом, мы нашли значения t, при которых главная нормаль кривой будет перпендикулярна вектору a. В итоге, главная нормаль N(t) будет иметь направление, заданное выше, и будет перпендикулярна вектору a при t = π/4 + nπ.