Как найти ортогональную проекцию точки (2;-3;1) на плоскость -x+3y-3z-5?

Геометрия 11 класс Ортогональная проекция точки на плоскость ортогональная проекция точка на плоскость геометрия координаты точки плоскость в пространстве нахождение проекции Новый

Чтобы найти ортогональную проекцию точки на плоскость, нам нужно выполнить несколько шагов. Рассмотрим плоскость, заданную уравнением:

-x + 3y - 3z - 5 = 0

Точка, которую мы хотим проецировать, имеет координаты (2, -3, 1).

1. Определим нормальный вектор плоскости.

Уравнение плоскости можно записать в виде:

-1*x + 3*y - 3*z = 5.

Из этого уравнения видно, что нормальный вектор плоскости N равен:

N = (-1, 3, -3).

2. Найдем вектор, соединяющий точку и плоскость.

Сначала подставим координаты точки (2, -3, 1) в уравнение плоскости, чтобы найти расстояние от точки до плоскости:

-2 + 3*(-3) - 3*1 - 5 = -2 - 9 - 3 - 5 = -19.

Теперь мы можем найти расстояние:

d = (-19) / ||N||, где ||N|| - длина нормального вектора.

Длина нормального вектора ||N|| = sqrt((-1)^2 + 3^2 + (-3)^2) = sqrt(1 + 9 + 9) = sqrt(19).

Таким образом, расстояние d = -19 / sqrt(19).

3. Найдем координаты проекции.

Теперь мы можем найти проекцию, двигаясь от точки (2, -3, 1) в направлении нормального вектора N на расстояние d:

Проекция = (2, -3, 1) + d * (N / ||N||).

Сначала найдем единичный вектор нормали:

U = N / ||N|| = (-1/sqrt(19), 3/sqrt(19), -3/sqrt(19)).

Теперь подставим d:

Проекция = (2, -3, 1) + (-19/sqrt(19)) * (-1/sqrt(19), 3/sqrt(19), -3/sqrt(19)).

Проекция = (2, -3, 1) + (19/19, -57/19, 57/19) = (2 + 1, -3 - 3, 1 + 3) = (3, -6, 4).

Таким образом, координаты ортогональной проекции точки (2, -3, 1) на плоскость -x + 3y - 3z - 5 равны (3, -6, 4).