Как найти угол между диагональю правильной четырехугольной призмы и плоскостью боковой грани, если сторона основания равна а, а диагональ образует угол 45° с плоскостью основания?

Геометрия 11 класс Призмы и цилиндры угол между диагональю правильная четырехугольная призма плоскость боковой грани сторона основания диагональ угол 45° Новый

Чтобы найти угол между диагональю правильной четырехугольной призмы и плоскостью боковой грани, давайте разберем задачу шаг за шагом.

Шаг 1: Определение параметров призмы

• Правильная четырехугольная призма имеет основание в виде квадрата со стороной a.
• Высота призмы обозначим как h.
• Диагональ квадрата основания равна d = a * sqrt(2).

Шаг 2: Определение координат точек

• Рассмотрим координаты вершин квадрата основания. Пусть одна из вершин будет в точке (0, 0, 0), тогда остальные вершины будут: (a, 0, 0), (a, a, 0), (0, a, 0).
• Вершины верхнего основания будут: (0, 0, h), (a, 0, h), (a, a, h), (0, a, h).

Шаг 3: Определение диагонали

• Выберем диагональ, например, из точки (0, 0, 0) в точку (a, a, h).
• Вектор диагонали будет равен: (a - 0, a - 0, h - 0) = (a, a, h).

Шаг 4: Угол с плоскостью основания

• Угол между диагональю и плоскостью основания равен 45°. Это означает, что проекция диагонали на плоскость основания (XY) образует равные углы с осями X и Y.
• Проекция вектора диагонали на плоскость XY будет (a, a, 0).

Шаг 5: Угол между диагональю и боковой гранью

• Плоскость боковой грани, например, между точками (0, 0, 0) и (0, 0, h), (0, a, h) и (0, a, 0), перпендикулярна оси X.
• Вектор нормали к плоскости боковой грани можно взять как (1, 0, 0).

Шаг 6: Использование скалярного произведения

• Чтобы найти угол между вектором диагонали (a, a, h) и нормалью (1, 0, 0), используем формулу скалярного произведения:
• (a, a, h) • (1, 0, 0) = a * 1 + a * 0 + h * 0 = a.
• Длина вектора диагонали равна sqrt(a^2 + a^2 + h^2) = sqrt(2a^2 + h^2).
• Длина нормали равна 1.

Шаг 7: Находим угол

• Косинус угла между векторами равен:
• cos(θ) = (a) / (sqrt(2a^2 + h^2)).
• Теперь, чтобы найти угол θ, используем арккосинус:
• θ = arccos(a / sqrt(2a^2 + h^2)).

Таким образом, мы нашли угол между диагональю правильной четырехугольной призмы и плоскостью боковой грани. Не забудьте подставить известные значения a и h для получения конкретного результата.