Как определить координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением x^2+y^2+z^2-6x+10y+2z+19=0?

Геометрия 11 класс Уравнения сфер и их свойства координаты центра сферы радиус сферы уравнение сферы геометрия 11 класс решение задач по геометрии Новый

Чтобы определить координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением вида x^2 + y^2 + z^2 + Ax + By + Cz + D = 0, необходимо привести это уравнение к стандартной форме сферы. Стандартная форма уравнения сферы выглядит так:

(x - x0)^2 + (y - y0)^2 + (z - z0)^2 = R^2,

где (x0, y0, z0) - координаты центра сферы, а R - радиус сферы.

Теперь давайте преобразуем данное уравнение:

1. Исходное уравнение: x^2 + y^2 + z^2 - 6x + 10y + 2z + 19 = 0.
2. Соберем все члены уравнения, относящиеся к x, y и z, и перенесем 19 на правую сторону:
3. x^2 - 6x + y^2 + 10y + z^2 + 2z = -19.

Теперь мы будем группировать и завершать квадрат для каждой переменной:

• Для x: x^2 - 6x. Чтобы завершить квадрат, берем половину коэффициента при x, возводим в квадрат и добавляем: (-6/2)^2 = 9. Таким образом, x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9.
• Для y: y^2 + 10y. Аналогично: (10/2)^2 = 25. Значит, y^2 + 10y = (y + 5)^2 - 25.
• Для z: z^2 + 2z. Здесь (2/2)^2 = 1. Таким образом, z^2 + 2z = (z + 1)^2 - 1.

Теперь подставим все обратно в уравнение:

1. (x - 3)^2 - 9 + (y + 5)^2 - 25 + (z + 1)^2 - 1 = -19.
2. Соберем все постоянные члены:
3. (x - 3)^2 + (y + 5)^2 + (z + 1)^2 - 35 = -19.
4. Переносим -35 на правую сторону:
5. (x - 3)^2 + (y + 5)^2 + (z + 1)^2 = 16.

Теперь у нас уравнение сферы в стандартной форме:

(x - 3)^2 + (y + 5)^2 + (z + 1)^2 = 4^2.

Из этого уравнения мы можем определить:

• Координаты центра сферы: (3, -5, -1).
• Радиус сферы: 4.

Таким образом, координаты центра сферы равны (3, -5, -1), а радиус равен 4.