Как определить точки экстремума функции f(x) = 36x - 3x^2 - 2x^3?

Геометрия 11 класс Экстремумы функций экстремумы функции точки экстремума производная функции нахождение экстремумов анализ функции геометрия 11 класс Новый

Чтобы определить точки экстремума функции f(x) = 36x - 3x^2 - 2x^3, нам нужно выполнить несколько шагов:

1. Найти производную функции. Производная функции f(x) показывает, как изменяется значение функции при изменении x. Мы найдем первую производную f'(x). Для этого применим правила дифференцирования:
• Производная от 36x равна 36.
• Производная от -3x^2 равна -6x.
• Производная от -2x^3 равна -6x^2.

Таким образом, первая производная будет:

f'(x) = 36 - 6x - 6x^2.

2. Найти критические точки. Критические точки находятся там, где первая производная равна нулю или не существует. Мы решим уравнение f'(x) = 0:

36 - 6x - 6x^2 = 0.

Упрощаем уравнение:

-6x^2 - 6x + 36 = 0.

Разделим на -6:

x^2 + x - 6 = 0.

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы корней:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = 1, c = -6.

Подставляем значения:

x = (-1 ± √(1 + 24)) / 2 = (-1 ± √25) / 2 = (-1 ± 5) / 2.

Таким образом, получаем два корня:

• x1 = (4) / 2 = 2,
• x2 = (-6) / 2 = -3.
3. Определить, являются ли найденные точки экстремумами. Для этого мы можем использовать вторую производную функции. Найдем f''(x):
• Производная от 36 равна 0.
• Производная от -6x равна -6.
• Производная от -6x^2 равна -12x.

Таким образом, вторая производная будет:

f''(x) = -6 - 12x.

4. Подставим критические точки в вторую производную:
• Для x = 2:

f''(2) = -6 - 12*2 = -6 - 24 = -30 (меньше 0, значит, в этой точке максимум).

• Для x = -3:

f''(-3) = -6 - 12*(-3) = -6 + 36 = 30 (больше 0, значит, в этой точке минимум).

5. Записать результаты:
• Точка x = 2 является точкой максимума.
• Точка x = -3 является точкой минимума.

Таким образом, мы определили точки экстремума функции f(x) = 36x - 3x^2 - 2x^3. Это точки x = 2 (максимум) и x = -3 (минимум).