Как определить точки гиперболы x^2/9 - y^2/16 = 1, расстояние до левого фокуса которых составляет 7?

Геометрия 11 класс Гиперболы гипербола точки гиперболы расстояние до фокуса уравнение гиперболы геометрия 11 класс Новый

Чтобы определить точки гиперболы, расстояние до левого фокуса которых составляет 7, начнем с анализа уравнения гиперболы:

У нас есть уравнение гиперболы:

x^2/9 - y^2/16 = 1

Это уравнение имеет вид гиперболы, которая открыта по горизонтали. Мы можем выделить параметры, которые нам понадобятся для дальнейших расчетов:

• a^2 = 9, следовательно, a = 3
• b^2 = 16, следовательно, b = 4

Фокусы гиперболы находятся на оси абсцисс (горизонтальной оси) и вычисляются по формуле:

c = sqrt(a^2 + b^2)

Подставим наши значения:

• c = sqrt(9 + 16) = sqrt(25) = 5

Таким образом, фокусы находятся в точках:

• (-c, 0) = (-5, 0) (левый фокус)
• (c, 0) = (5, 0) (правый фокус)

Теперь, чтобы найти точки, расстояние до левого фокуса (-5, 0) составляет 7, мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками. Расстояние от точки (x, y) до фокуса (-5, 0) равно 7:

sqrt((x + 5)^2 + (y - 0)^2) = 7

Теперь возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

(x + 5)^2 + y^2 = 49

Теперь у нас есть система уравнений:

1. x^2/9 - y^2/16 = 1
2. (x + 5)^2 + y^2 = 49

Теперь мы можем подставить значение y из первого уравнения во второе или, наоборот. Давайте выразим y из первого уравнения:

Умножим первое уравнение на 144 (наименьшее общее кратное 9 и 16):

16x^2 - 9y^2 = 144

Теперь выразим y^2:

9y^2 = 16x^2 - 144 y^2 = (16x^2 - 144)/9

Подставим это значение во второе уравнение:

(x + 5)^2 + (16x^2 - 144)/9 = 49

Теперь умножим все на 9, чтобы избавиться от дробей:

9(x + 5)^2 + 16x^2 - 144 = 441

Раскроем скобки:

9(x^2 + 10x + 25) + 16x^2 - 144 = 441

Упрощаем:

9x^2 + 90x + 225 + 16x^2 - 144 = 441 25x^2 + 90x + 81 = 441 25x^2 + 90x - 360 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = 90^2 - 425(-360) D = 8100 + 36000 = 44100

Теперь найдем корни уравнения:

x = (-b ± sqrt(D)) / (2a) x = (-90 ± sqrt(44100)) / (50) x = (-90 ± 210) / 50

Это дает два значения для x:

• x1 = 2.4
• x2 = -6

Теперь подставим найденные значения x обратно в уравнение для y:

Для x1 = 2.4:

y^2 = (16(2.4)^2 - 144)/9 y^2 = (16*5.76 - 144)/9 y^2 = (92.16 - 144)/9 y^2 = -51.84/9 (значение не подходит, так как y^2 не может быть отрицательным)

Для x2 = -6:

y^2 = (16(-6)^2 - 144)/9 y^2 = (1636 - 144)/9 y^2 = (576 - 144)/9 y^2 = 432/9 y^2 = 48 y = ±sqrt(48) = ±4sqrt(3)

Таким образом, точки гиперболы, расстояние до левого фокуса которых составляет 7, имеют координаты:

• (-6, 4*sqrt(3))
• (-6, -4*sqrt(3))

Итак, мы нашли все необходимые точки.