2025-02-13 10:31:30
Как решить следующие задачи по геометрии:
- а) Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке М так, что СМ = MD, АМ = 8 см, МВ = 2 см. Как найти длину хорды СД?
- б) Из двух пересекающихся хорд окружности одна разделена точкой пересечения на отрезки, равные 12 см и 18 см, а другая в отношении 3 : 8. Как найти длину другой хорды?
- в) В окружности проведены две хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке М. Известно, что АВ = 15 см, СМ = 9 см, MD = 4 см, а расстояние между точками А и С равно 11 см. Как найти острый угол между этими хордами? Сделайте с рисунком.
Дам 100 баллов.
Геометрия11 классПересекающиеся хорды окружностизадачи по геометриихорды окружностидлина хордыпересечение хордострый угол хордрешение задач по геометриигеометрические задачи 11 класс
2025-02-13 10:32:04
Давайте решим каждую из этих задач поочередно.
Задача а)
У нас есть две хорды АВ и CD, которые пересекаются в точке М. Из условия задачи мы знаем:
- СМ = MD
- АМ = 8 см
- МВ = 2 см
Сначала найдем длину хорды AB:
- AB = AM + MB = 8 см + 2 см = 10 см.
Теперь, используя теорему о пересекающихся хордах, мы можем записать:
AM * MB = CM * MDПодставим известные значения:
- 8 см * 2 см = CM * CM
- 16 см² = CM².
Теперь найдем CM:
- CM = √(16 см²) = 4 см.
Так как СМ = MD, то и MD также равно 4 см. Теперь найдем длину хорды CD:
- CD = CM + MD = 4 см + 4 см = 8 см.
Ответ: длина хорды CD равна 8 см.
Задача б)
У нас есть две пересекающиеся хорды, одна из которых разделена на отрезки 12 см и 18 см. Обозначим длину другой хорды как x. По условию, ее отрезки находятся в отношении 3:8. Обозначим отрезки другой хорды как 3k и 8k, где k - некоторый коэффициент пропорциональности.
Согласно теореме о пересекающихся хордах, мы знаем, что:
12 см * 18 см = 3k * 8kПодставим значения:
- 216 см² = 24k².
Теперь решим уравнение:
- k² = 216 см² / 24 = 9 см².
- k = √9 см² = 3 см.
Теперь найдем длину другой хорды:
- 3k + 8k = 11k = 11 * 3 см = 33 см.
Ответ: длина другой хорды равна 33 см.
Задача в)
У нас есть две хорды АВ и CD, которые пересекаются в точке М. Известно:
- AB = 15 см
- CM = 9 см
- MD = 4 см
- Расстояние между точками А и С равно 11 см.
Для нахождения острого угла между хордами, воспользуемся теоремой о пересекающихся хордах и формулой для нахождения угла между ними.
Сначала найдем длину отрезка CD:
- CD = CM + MD = 9 см + 4 см = 13 см.
Теперь можем построить треугольник AMC и треугольник BMD. Отметим, что угол между хордой АВ и хордой CD можно найти с помощью косинуса:
cos(угол) = (AM^2 + CM^2 - AC^2) / (2 * AM * CM)Где:
- AM = 8 см (половина от AB)
- CM = 9 см
- AC = 11 см.
Теперь подставим значения:
- cos(угол) = (8^2 + 9^2 - 11^2) / (2 * 8 * 9)
- cos(угол) = (64 + 81 - 121) / 144
- cos(угол) = 24 / 144 = 1/6.
- угол = arccos(1/6).
Теперь можно найти угол:
Этот угол будет острым. Для точного значения угла используйте калькулятор.
Ответ: острый угол между хордами можно найти как arccos(1/6).
Надеюсь, эти объяснения были полезны для вас! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать.
