Как решить три задачи по геометрии?

1. Как найти радиусы окружностей, описанной около прямоугольного треугольника с катетами 5 см и 12 см, и вписанной в него?
2. В треугольнике АВС проведен отрезок MN (M принадлежит АВ, N принадлежит ВС), параллельный стороне АС, так что ВМ:МА=1:2. Как найти отношение площадей треугольников MBN и ABC?
3. Как найти площадь кругового кольца, заключенного между окружностями, описанной около правильного четырехугольника со стороной а, и вписанной в него?

Геометрия 11 класс Окружности и площади фигур решение задач по геометрии радиусы окружностей треугольник ABC отношение площадей треугольников площадь кругового кольца правильный четырехугольник окружности в треугольнике катеты прямоугольного треугольника

1. Радиусы окружностей в прямоугольном треугольнике:

• Радиус описанной окружности (R) = гипотенуза / 2 = √(5² + 12²) / 2 = 13 / 2 = 6.5 см.
• Радиус вписанной окружности (r) = (катет1 + катет2 - гипотенуза) / 2 = (5 + 12 - 13) / 2 = 2 / 2 = 1 см.

2. Отношение площадей треугольников MBN и ABC:

• Отношение оснований BM и AB = 1:3 (так как BM:MA = 1:2).
• Отношение площадей треугольников MBN и ABC = (основание MBN / основание ABC) * (высота MBN / высота ABC) = 1/3.

3. Площадь кругового кольца между окружностями правильного четырехугольника:

• Площадь описанной окружности (R) = (a² / 2).
• Площадь вписанной окружности (r) = (a² / 4).
• Площадь кольца = Площадь описанной - Площадь вписанной = (a² / 2) - (a² / 4) = (a² / 4).

Давайте разберем каждую из задач по геометрии по отдельности.

Задача 1: Найти радиусы окружностей, описанной и вписанной около прямоугольного треугольника с катетами 5 см и 12 см.

1. Сначала найдем гипотенузу треугольника, используя теорему Пифагора:
   • Гипотенуза (c) = √(a² + b²), где a и b - катеты.
   • В нашем случае: c = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13 см.
2. Теперь найдем радиус описанной окружности (R):
   • Формула для радиуса описанной окружности: R = c / 2, где c - гипотенуза треугольника.
   • Значит, R = 13 / 2 = 6.5 см.
3. Теперь найдем радиус вписанной окружности (r):
   • Формула для радиуса вписанной окружности: r = (a + b - c) / 2.
   • Подставляем значения: r = (5 + 12 - 13) / 2 = 4 / 2 = 2 см.

Ответ: радиус описанной окружности 6.5 см, радиус вписанной окружности 2 см.

Задача 2: Найти отношение площадей треугольников MBN и ABC.

1. Обозначим площадь треугольника ABC как S. Поскольку MN параллелен AC и BM:MA = 1:2, это означает, что отрезок BM составляет 1/3 от AB.
2. Поскольку MN параллелен AC, треугольники MBN и ABC подобны. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату отношения их соответствующих сторон.
3. Таким образом, если BM:AB = 1:3, то отношение площадей будет:
   • (MBN:ABC) = (1/3)² = 1/9.

Ответ: отношение площадей треугольников MBN и ABC равно 1:9.

Задача 3: Найти площадь кругового кольца между окружностями, описанной и вписанной в правильный четырехугольник со стороной a.

1. В правильном четырехугольнике (квадрате) радиус описанной окружности (R) равен половине диагонали квадрата. Диагональ квадрата вычисляется по формуле: d = a√2. Следовательно, R = d / 2 = (a√2) / 2 = (a/√2).
2. Радиус вписанной окружности (r) равен половине стороны квадрата: r = a / 2.
3. Теперь найдем площади окружностей:
   • Площадь описанной окружности: S1 = πR² = π((a/√2)²) = π(a²/2).
   • Площадь вписанной окружности: S2 = πr² = π(a/2)² = π(a²/4).
4. Площадь кольца (S) равна разности площадей окружностей:
   • S = S1 - S2 = π(a²/2) - π(a²/4) = π(a²/2 - a²/4) = π(2a²/4 - a²/4) = π(a²/4).

Ответ: площадь кругового кольца равна π(a²/4).