Давайте разберем вашу задачу поэтапно. Мы имеем правильную треугольную пирамиду, в которую вписан шар радиуса R. Поскольку боковые грани наклонены к основанию под углом 60 градусов, это даст нам некоторые ключевые параметры для решения.

Сначала найдем высоту пирамиды. Поскольку боковые грани наклонены под углом 60 градусов, мы можем использовать тригонометрию для нахождения высоты.

• Обозначим высоту пирамиды как h.
• В треугольнике, образованном высотой h и радиусом R, можно выделить прямоугольный треугольник, где угол между высотой и боковой гранью равен 60 градусов.
• Используя соотношение: h = R / cos(60°) = R / (1/2) = 2R.

Теперь нам нужно найти длину стороны основания треугольной пирамиды. Поскольку мы знаем, что высота h равна 2R, и это расстояние от центра основания до вершины, мы можем использовать свойства правильного треугольника.

• В правильном треугольнике высота делит его на два равных прямоугольных треугольника.
• Таким образом, длина стороны основания a можно найти по формуле: a = 2 * (h * tan(30°)).
• Так как tan(30°) = 1/sqrt(3), получаем: a = 2 * (2R * (1/sqrt(3))) = (4R/sqrt(3)).

Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности пирамиды. Поскольку у нас 3 боковые грани, площадь одной боковой грани можно найти как:

• Площадь боковой грани = (1/2) * основание * высота.
• Основание боковой грани равно a, а высота - это длина от центра основания до вершины, то есть h = 2R.
• Площадь одной боковой грани = (1/2) * a * (2R) = aR.
• Теперь подставим значение a: Площадь одной боковой грани = (4R/sqrt(3)) * R = (4R^2/sqrt(3)).
• Площадь боковой поверхности = 3 * (4R^2/sqrt(3)) = (12R^2/sqrt(3)).

Шар касается боковых граней пирамиды по окружности, радиус которой равен R. Длина окружности определяется по формуле:

• Длина окружности = 2 * π * R.

Таким образом, мы завершили решение задачи. Площадь боковой поверхности пирамиды равна (12R^2/sqrt(3)), а длина окружности, по которой поверхность шара касается боковых граней, равна 2 * π * R.