Как решить задачу с рисунком, если у нас есть прямоугольный треугольник, сумма гипотенузы и катета которого равна m, а угол между ними обозначен как В (бета), и этот треугольник вращается вокруг гипотенузы? Как найти объем и площадь поверхности тела вращения?

Геометрия 11 класс Объем и площадь поверхности тел вращения прямоугольный треугольник сумма гипотенузы и катета угол между катетами вращение треугольника Объём тела вращения площадь поверхности тела вращения Новый

Для решения этой задачи нам нужно рассмотреть прямоугольный треугольник, который вращается вокруг своей гипотенузы. Давайте разберем шаги, необходимые для нахождения объема и площади поверхности тела вращения.

1. Определение сторон треугольника:

Обозначим гипотенузу треугольника как c, один катет как a, а другой катет как b. Из условия задачи мы знаем, что:

• c = a + b = m

2. Применение теоремы Пифагора:

Так как это прямоугольный треугольник, мы можем использовать теорему Пифагора:

• c^2 = a^2 + b^2

Подставим значение c:

• (a + b)^2 = a^2 + b^2

Раскроем скобки:

• a^2 + 2ab + b^2 = a^2 + b^2

Сократим a^2 и b^2:

• 2ab = 0

Это указывает на то, что один из катетов равен нулю, что невозможно. Поэтому мы можем рассмотреть соотношение между углом B и катетами.

3. Определение катетов через угол:

Используя угол B, мы можем выразить катеты через гипотенузу и угол:

• a = c * sin(B)
• b = c * cos(B)

Подставляем c = m:

• a = m * sin(B)
• b = m * cos(B)

4. Объем тела вращения:

При вращении треугольника вокруг гипотенузы образуется конус. Объем V конуса можно найти по формуле:

• V = (1/3) * π * r^2 * h

где r - радиус основания конуса (это один из катетов), а h - высота (это другой катет). Подставляем значения:

• V = (1/3) * π * (m * sin(B))^2 * (m * cos(B))

5. Площадь поверхности тела вращения:

Площадь поверхности S конуса можно найти по формуле:

• S = π * r * (r^2 + h^2)^(1/2)

Подставим значения:

• S = π * (m * sin(B)) * ((m * sin(B))^2 + (m * cos(B))^2)^(1/2)

С учетом того, что (m * sin(B))^2 + (m * cos(B))^2 = m^2, получаем:

• S = π * (m * sin(B)) * m

6. Итоговые формулы:

Таким образом, мы получили следующие формулы для объема и площади поверхности:

• Объем: V = (1/3) * π * (m * sin(B))^2 * (m * cos(B))
• Площадь поверхности: S = π * (m * sin(B)) * m

Теперь вы можете подставить известные значения m и B для получения численных результатов.