Как вычислить площадь области, заключенной между графиками функций: у=х^2+3 и у=х+5?
Геометрия 11 класс Площадь фигуры, ограниченной кривыми площадь области графики функций у=х^2+3 у=х+5 вычисление площади геометрия 11 класс Новый
Чтобы вычислить площадь области, заключенной между графиками функций y = x^2 + 3 и y = x + 5, необходимо выполнить несколько шагов. Давайте разберем их подробно.
Шаг 1: Найти точки пересечения графиков
Сначала нам нужно определить, где функции пересекаются. Для этого приравняем их друг другу:
x^2 + 3 = x + 5
Переносим все члены в одну сторону уравнения:
x^2 - x + 3 - 5 = 0
x^2 - x - 2 = 0
Теперь решим полученное квадратное уравнение. Мы можем использовать дискриминант:
D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4*1*(-2) = 1 + 8 = 9
Так как дискриминант положителен, у нас два действительных корня:
x1 = (1 + √9) / 2 = (1 + 3) / 2 = 2
x2 = (1 - √9) / 2 = (1 - 3) / 2 = -1
Шаг 2: Определить, какая функция выше
Теперь нужно определить, какая функция находится выше в пределах найденных точек пересечения (от x = -1 до x = 2). Для этого подставим любое значение из этого интервала, например, x = 0:
y1 = 0^2 + 3 = 3
y2 = 0 + 5 = 5
Так как 5 > 3, функция y = x + 5 находится выше функции y = x^2 + 3 на данном интервале.
Шаг 3: Вычислить площадь между графиками
Площадь области между графиками можно найти, вычислив определенный интеграл разности функций:
P = ∫[a, b] (верхняя функция - нижняя функция) dx
В нашем случае это будет:
P = ∫[-1, 2] ((x + 5) - (x^2 + 3)) dx
Упростим выражение:
P = ∫[-1, 2] (x + 5 - x^2 - 3) dx = ∫[-1, 2] (-x^2 + x + 2) dx
Шаг 4: Вычислить интеграл
Теперь найдем определенный интеграл:
F(x) = -x^3/3 + x^2/2 + 2x
P = F(2) - F(-1)
Сначала находим F(2):
F(2) = -2^3/3 + 2^2/2 + 2*2 = -8/3 + 2 + 4 = -8/3 + 6/3 = -2/3
Теперь находим F(-1):
F(-1) = -(-1)^3/3 + (-1)^2/2 + 2*(-1) = 1/3 + 1/2 - 2 = 1/3 + 3/6 - 12/6 = 1/3 - 9/6 = 1/3 - 1.5 = -3/6 = -1/2
P = (-2/3) - (-1/2) = -2/3 + 1/2
Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю:
P = (-4/6) + (3/6) = -1/6
Так как площадь не может быть отрицательной, мы берем модуль:
P = 1/6
Ответ:
Площадь области, заключенной между графиками функций y = x^2 + 3 и y = x + 5, равна 1/6.