Как вычислить площадь области, заключенной между графиками функций: у=х^2+3 и у=х+5?

Геометрия 11 класс Площадь фигуры, ограниченной кривыми площадь области графики функций у=х^2+3 у=х+5 вычисление площади геометрия 11 класс Новый

Чтобы вычислить площадь области, заключенной между графиками функций y = x^2 + 3 и y = x + 5, необходимо выполнить несколько шагов. Давайте разберем их подробно.

Шаг 1: Найти точки пересечения графиков

Сначала нам нужно определить, где функции пересекаются. Для этого приравняем их друг другу:

x^2 + 3 = x + 5

Переносим все члены в одну сторону уравнения:

x^2 - x + 3 - 5 = 0

x^2 - x - 2 = 0

Теперь решим полученное квадратное уравнение. Мы можем использовать дискриминант:

D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4*1*(-2) = 1 + 8 = 9

Так как дискриминант положителен, у нас два действительных корня:

x1 = (1 + √9) / 2 = (1 + 3) / 2 = 2

x2 = (1 - √9) / 2 = (1 - 3) / 2 = -1

Шаг 2: Определить, какая функция выше

Теперь нужно определить, какая функция находится выше в пределах найденных точек пересечения (от x = -1 до x = 2). Для этого подставим любое значение из этого интервала, например, x = 0:

y1 = 0^2 + 3 = 3

y2 = 0 + 5 = 5

Так как 5 > 3, функция y = x + 5 находится выше функции y = x^2 + 3 на данном интервале.

Шаг 3: Вычислить площадь между графиками

Площадь области между графиками можно найти, вычислив определенный интеграл разности функций:

P = ∫[a, b] (верхняя функция - нижняя функция) dx

В нашем случае это будет:

P = ∫[-1, 2] ((x + 5) - (x^2 + 3)) dx

Упростим выражение:

P = ∫[-1, 2] (x + 5 - x^2 - 3) dx = ∫[-1, 2] (-x^2 + x + 2) dx

Шаг 4: Вычислить интеграл

Теперь найдем определенный интеграл:

1. Найдите первообразную для функции -x^2 + x + 2:

F(x) = -x^3/3 + x^2/2 + 2x

2. Теперь вычислим определенный интеграл от -1 до 2:

P = F(2) - F(-1)

Сначала находим F(2):

F(2) = -2^3/3 + 2^2/2 + 2*2 = -8/3 + 2 + 4 = -8/3 + 6/3 = -2/3

Теперь находим F(-1):

F(-1) = -(-1)^3/3 + (-1)^2/2 + 2*(-1) = 1/3 + 1/2 - 2 = 1/3 + 3/6 - 12/6 = 1/3 - 9/6 = 1/3 - 1.5 = -3/6 = -1/2

3. Теперь подставим значения:

P = (-2/3) - (-1/2) = -2/3 + 1/2

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю:

P = (-4/6) + (3/6) = -1/6

Так как площадь не может быть отрицательной, мы берем модуль:

P = 1/6

Ответ:

Площадь области, заключенной между графиками функций y = x^2 + 3 и y = x + 5, равна 1/6.