Какова длина образующей конуса, который имеет максимальную боковую поверхность, если сумма образующей и диаметра основания равна 8 дм?

Геометрия 11 класс Оптимизация в геометрии длина образующей конуса максимальная боковая поверхность сумма образующей и диаметра геометрия 11 класс Новый

Для решения задачи начнем с определения необходимых величин и формул. Обозначим:

• r - радиус основания конуса;
• h - высота конуса;
• l - длина образующей конуса.

Согласно условию задачи, сумма образующей и диаметра основания равна 8 дм. Диаметр основания можно выразить через радиус:

Диаметр = 2r.

Следовательно, у нас есть уравнение:

l + 2r = 8.

Отсюда можно выразить l:

l = 8 - 2r.

Теперь мы можем выразить боковую поверхность конуса. Формула для боковой поверхности S боковой конуса:

S = πrl.

Подставим выражение для l в формулу:

S = πr(8 - 2r) = 8πr - 2πr².

Теперь нам нужно найти максимум этой функции S. Для этого найдем производную S по r и приравняем её к нулю:

S' = 8π - 4πr.

Приравняем производную к нулю:

8π - 4πr = 0.

Отсюда получаем:

4πr = 8π.

r = 2.

Теперь подставим найденное значение r в уравнение для l:

l = 8 - 2r = 8 - 2 * 2 = 4.

Таким образом, длина образующей конуса, который имеет максимальную боковую поверхность, равна 4 дм.