Какова длина стороны основания пирамиды, если основание представляет собой правильный треугольник, каждая боковая грань образует угол 60° с плоскостью основания, а высота пирамиды равна 6 см?

Геометрия 11 класс Пирамида с правильным треугольником в основании длина стороны основания пирамиды правильный треугольник боковая грань угол 60° высота пирамиды 6 см геометрия 11 класс Новый

Для решения задачи начнем с того, что у нас есть правильная треугольная пирамида, где основание – правильный треугольник, а высота пирамиды равна 6 см. Боковые грани пирамиды образуют угол 60° с плоскостью основания.

Обозначим длину стороны основания правильного треугольника как "a". Высота пирамиды (h) равна 6 см. Боковая грань пирамиды будет представлять собой треугольник, в котором одна сторона – это высота пирамиды, а другая сторона – это расстояние от вершины пирамиды до центра основания.

Шаги решения:

1. Найдем расстояние от вершины пирамиды до центра основания. Для этого вспомним, что центр правильного треугольника (центр масс) находится на пересечении медиан. Медиана правильного треугольника делит его на два равнобедренных треугольника.
2. Длина медианы (m) правильного треугольника можно вычислить по формуле: m = (a * sqrt(3)) / 2.
3. Теперь, зная, что боковая грань образует угол 60° с плоскостью основания, мы можем использовать тригонометрию. Рассмотрим треугольник, образованный высотой пирамиды, расстоянием от вершины до центра основания и боковой гранью.
4. Обозначим расстояние от центра основания до вершины пирамиды как "x". В этом треугольнике мы можем использовать тангенс угла: tan(60°) = h/x, где h = 6 см.
5. Таким образом, x = h / tan(60°). Подставим значение h:
6. x = 6 / (sqrt(3)).
7. Теперь, чтобы найти длину стороны основания "a", воспользуемся тем, что центр основания правильного треугольника делит каждую медиану пополам, и расстояние от центра до вершины основания равно a / (sqrt(3)).
8. Таким образом, у нас есть уравнение: x = a / (sqrt(3)).
9. Подставим значение x: 6 / (sqrt(3)) = a / (sqrt(3)).
10. Умножим обе стороны на sqrt(3): 6 = a.

Таким образом, длина стороны основания пирамиды равна 6 см.