Какова общая площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, если апофема составляет 1 и наклонена к основанию под углом 60 градусов?

Геометрия 11 класс Полная поверхность правильной четырехугольной пирамиды правильная четырехугольная пирамида площадь поверхности апофема угол наклона геометрия 11 класс Новый

Чтобы найти общую площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, нам нужно рассмотреть несколько шагов. Пирамида состоит из основания и четырех треугольных граней.

Шаг 1: Найдем площадь основания

Основание правильной четырехугольной пирамиды является квадратом. Для нахождения площади квадрата нам нужно знать длину его стороны. Мы можем использовать апофему и угол наклона, чтобы найти эту длину.

• Апофема (l) равна 1.
• Угол наклона (α) равен 60 градусов.

В правильной пирамиде высота треугольной грани (h) может быть найдена с помощью тригонометрии:

• h = l * sin(α) = 1 * sin(60°) = 1 * (√3/2) = √3/2.

Теперь мы можем найти радиус окружности, описанной вокруг квадрата (R), который равен половине длины диагонали квадрата:

• Длина диагонали квадрата равна √2 * a, где a - длина стороны квадрата.
• R = (√2/2) * a.

Высота пирамиды (H) также может быть найдена с использованием апофемы и угла наклона:

• H = l * cos(α) = 1 * cos(60°) = 1 * (1/2) = 1/2.

Теперь мы можем выразить a через H:

• H = (√3/2) * (a / 2) => 1/2 = (√3/2) * (a / 2).
• Умножим обе стороны на 2: 1 = √3 * (a / 2).
• Отсюда получаем a = 2/√3.

Теперь найдем площадь основания:

• Площадь основания = a² = (2/√3)² = 4/3.

Шаг 2: Найдем площадь боковых граней

Каждая боковая грань является равнобедренным треугольником с основанием a и высотой h.

• Площадь одной боковой грани = (1/2) * основание * высота = (1/2) * (2/√3) * (√3/2) = 1/2.
• Поскольку у нас 4 боковые грани, общая площадь боковых граней = 4 * (1/2) = 2.

Шаг 3: Найдем общую площадь поверхности

Теперь мы можем найти общую площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды:

• Общая площадь = Площадь основания + Площадь боковых граней = (4/3) + 2 = (4/3) + (6/3) = 10/3.

Ответ: Общая площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды равна 10/3.