Какова площадь боковой поверхности усеченного конуса, если через две образующие, угол между которыми 60°, проведена плоскость, пересекающая основания конуса по хордам 6 см и 4 см, и каждая из этих хорд стягивает дугу 90°?

Геометрия 11 класс Площадь боковой поверхности усеченного конуса площадь боковой поверхности усеченный конус угол 60° хорды 6 см хорды 4 см дуга 90° геометрия 11 класс Новый

Чтобы найти площадь боковой поверхности усеченного конуса, нам необходимо использовать некоторые формулы и свойства геометрии усеченных конусов. Давайте разберем решение шаг за шагом.

Шаг 1: Определение радиусов оснований усеченного конуса

• У нас есть две хорды: одна длиной 6 см и другая длиной 4 см.
• Поскольку каждая хорда стягивает дугу 90°, мы можем воспользоваться свойством круга: длина хорды связана с радиусом через угол, который она стягивает.
• Для хорды, которая стягивает угол 90°, длина хорды (L) и радиус (R) связаны формулой: L = R * sin(90°/2) = R * sqrt(2)/2.
• Для первой хорды (6 см): 6 = R1 * sqrt(2)/2, отсюда R1 = 6 * 2/sqrt(2) = 6√2 см.
• Для второй хорды (4 см): 4 = R2 * sqrt(2)/2, отсюда R2 = 4 * 2/sqrt(2) = 4√2 см.

Шаг 2: Определение высоты усеченного конуса

• Теперь мы знаем радиусы оснований: R1 = 6√2 см и R2 = 4√2 см.
• Угол между образующими конуса составляет 60°. Это значит, что высота (h) усеченного конуса может быть найдена через радиусы и угол.
• Согласно геометрии, высота усеченного конуса может быть найдена через разность радиусов и тангенс угла между образующими: h = (R1 - R2) / tan(30°).
• Зная, что tan(30°) = 1/√3, мы можем найти h: h = (6√2 - 4√2) / (1/√3) = 2√2 * √3 = 2√6 см.

Шаг 3: Площадь боковой поверхности усеченного конуса

• Площадь боковой поверхности усеченного конуса (S) рассчитывается по формуле:
• S = π(R1 + R2) * l, где l - образующая конуса.
• Образующая (l) может быть найдена через радиусы и высоту: l = √(h² + (R1 - R2)²).
• Подставляем значения: l = √((2√6)² + (6√2 - 4√2)²) = √(24 + 4) = √28 = 2√7 см.
• Теперь подставим все известные значения в формулу для площади: S = π(6√2 + 4√2) * 2√7 = π(10√2) * 2√7 = 20√14π см².

Ответ: Площадь боковой поверхности усеченного конуса составляет 20√14π см².