Давайте решим задачу шаг за шагом. Начнем с определения необходимых величин и формул для вычисления площадей.

Правильная четырёхугольная призма имеет основание в виде квадрата. Сторона основания квадрата равна √5. Таким образом, мы можем найти площадь диагонального сечения.

Для начала найдем длину диагонали основания квадрата:

• Длина диагонали квадрата = √(сторона² + сторона²) = √(√5² + √5²) = √(5 + 5) = √10.

Теперь, учитывая, что диагональ образует угол 30° с плоскостью боковой грани, мы можем найти высоту диагонального сечения. Высота будет равна длине диагонали, умноженной на синус угла:

• Высота = Длина диагонали * sin(30°) = √10 * 0.5 = √10 / 2.

Теперь мы можем найти площадь треугольника, образованного диагональным сечением. Площадь треугольника можно найти по формуле:

• Площадь треугольника = 1/2 * основание * высота.

В качестве основания возьмем длину диагонали основания (√10), а высота у нас уже найдена (√10 / 2):

• Площадь диагонального сечения = 1/2 * √10 * (√10 / 2) = 1/2 * (10 / 2) = 5 / 2.

Боковая поверхность призмы состоит из четырех прямоугольников. Площадь одного прямоугольника равна произведению высоты призмы на сторону основания:

• Площадь одного прямоугольника = сторона * высота.

Высота призмы равна длине диагонали основания, умноженной на cos(30°):

• Высота = √10 * cos(30°) = √10 * (√3 / 2) = √30 / 2.

Теперь можно найти площадь боковой поверхности:

• Площадь боковой поверхности = 4 * (сторона * высота) = 4 * (√5 * (√30 / 2)) = 2 * √5 * √30 = 2 * √150 = √600.

Треугольник ADC₁ также можно рассматривать как прямоугольный треугольник. Площадь этого треугольника можно найти по формуле:

• Площадь = 1/2 * основание * высота.

В данном случае основание будет равно стороне основания (√5), а высота – высоте призмы (√30 / 2):

• Площадь треугольника ADC₁ = 1/2 * √5 * (√30 / 2) = (√5 * √30) / 4 = √150 / 4.

Итак, подводя итоги:

• Площадь диагонального сечения = 5 / 2.
• Площадь боковой поверхности = √600.
• Площадь треугольника ADC₁ = √150 / 4.