Чтобы найти площадь диагонального сечения правильной четырехугольной призмы, нам нужно рассмотреть несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

• Мы знаем, что диагональ основания правильной четырехугольной призмы равна 7√2 см.
• Для правильного квадрата (основания призмы) диагональ D можно выразить через сторону a следующим образом: D = a√2.
• Приравниваем: 7√2 = a√2.
• Следовательно, a = 7 см.

• Поскольку диагональ призмы образует угол 45 градусов с плоскостью основания, это означает, что высота h призмы равна длине диагонали основания, умноженной на синус угла 45 градусов.
• Синус 45 градусов равен √2/2.
• Таким образом, h = D * sin(45) = 7√2 * (√2/2) = 7 см.

• Диагональное сечение призмы будет представлять собой треугольник, вершинами которого являются две противоположные вершины основания и одна вершина, находящаяся на верхнем основании, прямо над одной из вершин основания.
• Стороны этого треугольника: одна сторона равна стороне основания (7 см),вторая сторона равна высоте (7 см),а третья сторона равна диагонали основания (7√2 см).

• Сначала найдем полупериметр p: p = (a + b + c) / 2, где a = 7 см, b = 7 см, c = 7√2 см.
• p = (7 + 7 + 7√2) / 2 = (14 + 7√2) / 2 = 7 + (7√2)/2.
• Теперь применим формулу Герона: S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)).
• Подставим значения: S = √((7 + (7√2)/2) * ((7 + (7√2)/2) - 7) * ((7 + (7√2)/2) - 7) * ((7 + (7√2)/2) - 7√2)).
• После упрощения получим площадь диагонального сечения.

В результате, площадь диагонального сечения правильной четырехугольной призмы равна 49 см².