Какова площадь криволинейного треугольника, образованного дугами трех окружностей радиуса 4 см, которые касаются друг друга?

Геометрия 11 класс Криволинейные фигуры и их площади площадь криволинейного треугольника дуги окружностей радиус 4 см геометрия 11 класс задачи по геометрии Новый

Чтобы найти площадь криволинейного треугольника, образованного дугами трех окружностей радиуса 4 см, которые касаются друг друга, начнем с описания данной ситуации.

Предположим, что у нас есть три окружности, каждая радиусом 4 см. Эти окружности касаются друг друга в трех точках. Дуги, которые образуют треугольник, будут находиться между этими точками касания.

Теперь давайте разберем шаги для нахождения площади этого криволинейного треугольника:

1. Определение центра окружностей: Обозначим центры окружностей как A, B и C. Расстояние между любыми двумя центрами будет равно 8 см, так как радиус каждой окружности равен 4 см (4 см + 4 см).
2. Нахождение площади треугольника ABC: Площадь треугольника ABC можно найти по формуле Герона. Для этого сначала найдем полупериметр:
   • Стороны треугольника ABC равны 8 см (AB), 8 см (BC) и 8 см (CA).
   • Полупериметр p = (8 + 8 + 8) / 2 = 12 см.
3. Применение формулы Герона: Площадь S треугольника можно найти по формуле:
   • S = sqrt(p * (p - a) * (p - b) * (p - c), где a, b, c - стороны треугольника.
   • Подставляем значения: S = sqrt(12 * (12 - 8) * (12 - 8) * (12 - 8)) = sqrt(12 * 4 * 4 * 4) = sqrt(768) = 16 * sqrt(3) см².
4. Нахождение площади криволинейного треугольника: Площадь криволинейного треугольника будет равна площади треугольника ABC плюс площадь трех сегментов окружностей, отсекаемых дугами.
   • Площадь одного сегмента окружности можно найти по формуле: S_segment = S_sector - S_triangle, где S_sector - площадь сектора, а S_triangle - площадь треугольника, образованного радиусами и хордой.
   • Площадь сектора с углом 60 градусов (так как треугольник равносторонний) равна (60/360) * π * r² = (1/6) * π * 4² = (16/6)π см².
   • Площадь треугольника, образованного радиусами (также равносторонний треугольник со стороной 4 см): S_triangle = (4 * 4 * sqrt(3)) / 4 = 4sqrt(3) см².
   • Таким образом, площадь одного сегмента: S_segment = (16/6)π - 4sqrt(3) см².
5. Общая площадь криволинейного треугольника: Площадь криволинейного треугольника будет равна:
   • S_k = S_triangle + 3 * S_segment = 16sqrt(3) + 3 * ((16/6)π - 4sqrt(3)) = 16sqrt(3) + 8π - 12sqrt(3) = 4sqrt(3) + 8π см².

Таким образом, площадь криволинейного треугольника, образованного дугами трех окружностей радиуса 4 см, равна 4sqrt(3) + 8π см².