Для начала, давайте разберемся с данными в задаче и тем, что нам нужно найти.

1. Площадь квадрата ABCD:

• Площадь квадрата вычисляется по формуле: S = a², где a - длина стороны квадрата.
• Так как перпендикуляр DK длиной 10 см проведён из вершины D, это может означать, что длина стороны квадрата также равна 10 см, если DK является высотой, проведенной из D на плоскость ABC.

Таким образом, если сторона квадрата равна 10 см, то:

S = 10 см * 10 см = 100 см².

2. Площадь треугольника BCK:

• Для нахождения площади треугольника используется формула: S = 1/2 * основание * высота.
• В нашем случае основание BK можно взять за сторону квадрата, то есть 10 см.
• Высота треугольника, проведённая из точки C на сторону BK, будет равна DK, так как DK перпендикулярен плоскости ABC и образует угол 45 градусов с плоскостью KBC.
• Так как угол между плоскостями ABC и KBC составляет 45 градусов, высота треугольника BCK будет равна DK, то есть 10 см.

Теперь можем найти площадь треугольника:

S = 1/2 * 10 см * 10 см = 50 см².

Итак, итоговые площади:

• Площадь квадрата ABCD = 100 см².
• Площадь треугольника BCK = 50 см².