Какова площадь основания правильной четырёхугольной призмы, если её диагональ равна 14 см и образует угол 30° с боковой гранью?

Геометрия 11 класс Площадь основания призмы площадь основания правильная четырехугольная призма диагональ 14 см угол 30° боковая грань геометрия 11 класс формулы площади свойства призмы треугольник косинус угла математические задачи Новый

Давайте разберёмся с задачей по нахождению площади основания правильной четырёхугольной призмы, зная, что её диагональ равна 14 см и образует угол 30° с боковой гранью.

Сначала вспомним, что основанием правильной четырёхугольной призмы является квадрат. Мы можем обозначить вершины квадрата как A, B, C и D, а также обозначим диагональ призмы, которая соединяет точки A и C, как AC. Важно заметить, что диагональ AC равна 14 см.

Теперь обратим внимание на угол между диагональю AC и боковой гранью призмы. В данной задаче этот угол равен 30°. Это означает, что мы можем рассмотреть треугольник, в котором одна сторона — это диагональ AC, а другая сторона — это проекция диагонали на плоскость боковой грани.

Так как угол между диагональю и боковой гранью составляет 30°, мы можем воспользоваться тригонометрией, чтобы найти проекцию диагонали на плоскость, которая перпендикулярна боковой грани. В нашем случае проекция будет равна:

1. Проекция диагонали AC на боковую грань равна AC * cos(30°).
2. Поскольку AC = 14 см, то проекция будет равна 14 * cos(30°).

Значение cos(30°) равно √3/2, следовательно:

Проекция = 14 * √3/2 = 7√3 см.

Теперь мы можем рассмотреть треугольник, образованный диагональю и проекцией. В этом треугольнике мы знаем, что угол между диагональю и проекцией равен 30°, и поэтому, согласно свойствам треугольников, мы можем определить длину стороны квадрата (которая равна стороне основания призмы).

В треугольнике, где один из углов равен 30°, противолежащая сторона (которая соответствует половине диагонали) будет равна:

1. Сторона квадрата (B) = 2 * (7√3 см) / √3 = 14 см.
2. Так как основание является квадратом, его площадь будет равна стороне в квадрате: B² = 14² = 196 см².

Таким образом, площадь основания правильной четырёхугольной призмы составляет 196 см².