Какова площадь полной поверхности усеченного конуса, если диагональ осевого сечения является биссектрисой острого угла при основании этого сечения, образующая равна 6 см и образует угол 60° с плоскостью основания? Постройте рисунок для решения задачи.

Геометрия 11 класс Площадь полной поверхности усеченного конуса площадь полной поверхности усеченного конуса диагональ осевого сечения биссектрисы острого угла образующая равна 6 см угол 60 градусов плоскость основания решение задачи по геометрии рисунок для задачи Новый

Для нахождения площади полной поверхности усеченного конуса, нам необходимо знать радиусы оснований, высоту и образующую. В данной задаче мы имеем образующую, равную 6 см, и угол между образующей и плоскостью основания, равный 60°. Начнем с построения рисунка и определения необходимых значений.

Шаг 1: Построение осевого сечения

• Изобразим усеченный конус и проведем осевое сечение. Это будет треугольник, в котором:
• Одна сторона - это высота усеченного конуса.
• Две другие стороны - радиусы оснований и образующая.

Шаг 2: Определение высоты

Обозначим:

• h - высота усеченного конуса.
• l - образующая, равная 6 см.
• α - угол между образующей и основанием, равный 60°.

Мы можем найти высоту h, используя тригонометрические функции:

• h = l * sin(α)
• h = 6 * sin(60°) = 6 * (√3/2) = 3√3 см.

Шаг 3: Определение радиусов оснований

Теперь найдем радиусы оснований. Обозначим радиусы как R1 и R2. Мы знаем, что диагональ осевого сечения является биссектрисой острого угла, следовательно, она делит угол при основании пополам. Таким образом, используя теорему о биссектрисе, мы можем выразить радиусы через высоту и образующую:

• R1 = h * tan(30°) = (3√3) * (√3/3) = 3 см.
• R2 = h * tan(30°) = (3√3) * (√3/3) = 3 см.

Шаг 4: Площадь полной поверхности усеченного конуса

Формула для площади полной поверхности усеченного конуса:

S = π(R1^2 + R2^2) + π(R1 + R2) * l

Подставим известные значения:

• R1 = 3 см, R2 = 3 см, l = 6 см.

Теперь подставим в формулу:

• S = π(3^2 + 3^2) + π(3 + 3) * 6
• S = π(9 + 9) + π(6) * 6
• S = π(18) + π(36)
• S = 54π см².

Ответ: Площадь полной поверхности усеченного конуса составляет 54π см².