Чтобы найти площадь поверхности многогранника, вершинами которого являются центры граней тетраэдра, нам нужно сначала понять, каковы эти центры и каковы грани самого тетраэдра.

Тетраэдр - это четырехгранник, состоящий из четырех треугольных граней. В нашем случае, у нас есть правильный тетраэдр с ребром 9 см. Давайте рассмотрим шаги для нахождения площади поверхности многогранника, который образуется центрами этих граней.

• Поскольку тетраэдр правильный, все его грани равны.
• Каждая грань является равносторонним треугольником с ребром 9 см.
• Площадь равностороннего треугольника можно найти по формуле: S = (a^2 * √3) / 4, где a - длина ребра.
• Подставим значение: S = (9^2 * √3) / 4 = (81 * √3) / 4 = 20.25√3 см².

• Центр равностороннего треугольника находится в точке, где пересекаются медианы.
• Для равностороннего треугольника с вершинами (0, 0), (9, 0), (4.5, 4.5√3) координаты центра можно найти как среднее арифметическое координат вершин:
• Центр = ((0 + 9 + 4.5) / 3, (0 + 0 + 4.5√3) / 3) = (4.5, 1.5√3).

• Поскольку у нас 4 грани, у нас будет 4 центра.
• Расстояние между любыми двумя центрами можно вычислить с помощью формулы расстояния между двумя точками в пространстве.
• Сделаем это для всех пар центров, чтобы получить длины рёбер многогранника.

• После нахождения всех рёбер многогранника, мы можем использовать формулу для площади поверхности многогранника.
• Поскольку многогранник будет тетраэдром, площадь его поверхности будет равна сумме площадей всех его граней.

В итоге, после выполнения всех этих шагов, мы можем получить площадь поверхности многогранника. Поскольку у нас 4 равные грани, и каждая из них имеет площадь 20.25√3 см², то:

Площадь = 4 * 20.25√3 = 81√3 см².

Таким образом, площадь поверхности многогранника, вершинами которого являются центры граней данного тетраэдра, составляет 81√3 см².