Какова площадь поверхности сферы, которая описана вокруг правильной четырехугольной призмы, если боковое ребро призмы равно а, и радиус сферы, проведенный к вершине призмы, образует угол с боковым ребром?

Геометрия 11 класс Площадь поверхности сферы и правильные призмы площадь поверхности сферы правильная четырехугольная призма боковое ребро призмы радиус сферы угол с боковым ребром Новый

Чтобы найти площадь поверхности сферы, описанной вокруг правильной четырехугольной призмы, нам необходимо сначала определить радиус этой сферы и затем использовать формулу для вычисления площади поверхности сферы.

Шаг 1: Определение радиуса сферы.

Правильная четырехугольная призма имеет квадратное основание и равные боковые ребра. Обозначим:

• a - длина бокового ребра призмы;
• R - радиус сферы, описанной вокруг призмы.

Сфера будет касаться всех вершин призмы. Чтобы найти радиус, проведем радиус сферы к одной из вершин призмы. Этот радиус будет образовывать угол с боковым ребром.

Для правильной четырехугольной призмы высота h равна длине бокового ребра a. Поскольку призма правильная, ее основание будет квадратом со стороной, равной длине ребра основания.

Если обозначить половину стороны квадрата основания как b, то:

• Сторона квадрата основания: b = a / √2;
• Высота призмы: h = a.

Теперь применим теорему Пифагора для нахождения радиуса R:

R = √(h^2 + b^2) = √(a^2 + (a/√2)^2) = √(a^2 + a^2/2) = √(3a^2/2) = a√(3/2).

Шаг 2: Площадь поверхности сферы.

Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле:

P = 4πR^2.

Подставляем значение радиуса R:

P = 4π(a√(3/2))^2 = 4π * (3/2) * a^2 = 6πa^2.

Ответ: Площадь поверхности сферы, описанной вокруг правильной четырехугольной призмы, равна 6πa².