Чтобы решить задачу, давайте сначала разберемся с правильным треугольником, описанным вокруг круга, и его площадью.

Площадь правильного треугольника (S) можно выразить через радиус описанной окружности (R) следующим образом:

S = (3√3 / 2) * R²

В данном случае, площадь правильного треугольника равна 54√3 см². Подставим это значение в формулу:

54√3 = (3√3 / 2) * R²

Теперь, чтобы найти R², мы можем упростить уравнение:

1. Умножим обе стороны на 2:
108√3 = 3√3 * R²
2. Разделим обе стороны на 3√3:
R² = 108 / 3 = 36
3. Теперь найдем R:
R = √36 = 6 см

Теперь, когда мы знаем радиус описанной окружности, можем перейти к следующему шагу — нахождению периметра квадрата, вписанного в этот круг.

Периметр квадрата (P) можно выразить через радиус окружности следующим образом:

P = 4 * a, где a — длина стороны квадрата.

Длина стороны квадрата, вписанного в круг, равна:

a = R * √2

Подставим значение R:

1. Находим a:
a = 6 * √2 см
2. Теперь подставим a в формулу для периметра:
P = 4 * (6 * √2) = 24√2 см

Таким образом, мы получили:

• Площадь правильного треугольника: 54√3 см²
• Периметр квадрата, вписанного в круг: 24√2 см