Какова площадь треугольника A1*A2*A7, если правильный 12-угольник A1*A2*...*A12 вписан в окружность радиусом 3,5?

Геометрия 11 класс Площадь треугольника в правильном многоугольнике площадь треугольника правильный 12-угольник окружность радиус 3,5 Новый

Для нахождения площади треугольника A1A2A7, который образован вершинами правильного 12-угольника, вписанного в окружность радиусом 3,5, мы можем воспользоваться следующими шагами:

1. Определение координат вершин 12-угольника:
   • Вершины правильного 12-угольника можно расположить на окружности радиуса R с центром в начале координат (0,0). Координаты каждой вершины можно найти по формуле:
   • A_k = (R * cos(2π(k-1)/12), R * sin(2π(k-1)/12)), где k = 1, 2, ..., 12.
2. Подставляем радиус:
   • В нашем случае R = 3,5.
   • Координаты вершин будут:
   • A1 = (3.5 * cos(0), 3.5 * sin(0)) = (3.5, 0),
   • A2 = (3.5 * cos(2π/12), 3.5 * sin(2π/12)),
   • A7 = (3.5 * cos(12π/12), 3.5 * sin(12π/12)) = (3.5 * cos(π), 3.5 * sin(π)) = (-3.5, 0).
3. Находим координаты A2 и A7:
   • A2 = (3.5 * cos(π/6), 3.5 * sin(π/6)) = (3.5 * √3/2, 3.5 * 1/2) = (3.5√3/2, 1.75),
   • A7 = (-3.5, 0).
4. Используем формулу площади треугольника:
   • Площадь треугольника, заданного координатами вершин (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), можно вычислить по формуле:
   • Площадь = 1/2 * |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)|.
5. Подставляем координаты:
   • Пусть A1 = (3.5, 0), A2 = (3.5√3/2, 1.75), A7 = (-3.5, 0).
   • Тогда подставляем в формулу:
   • Площадь = 1/2 * |3.5(1.75 - 0) + (3.5√3/2)(0 - 0) + (-3.5)(0 - 1.75)| = 1/2 * |3.5 * 1.75 + 0 + 3.5 * 1.75|.
   • Это упрощается до: Площадь = 1/2 * |3.5 * 1.75 * 2| = 3.5 * 1.75 = 6.125.

Таким образом, площадь треугольника A1A2A7 равна 6.125.