Какова площадь треугольника, который образуется касательными к графику функции f(x)=4x-x^2 в точках с абсциссами х1=1 и х2=4, а также осью Ох?

Геометрия 11 класс Площадь треугольника в координатной плоскости площадь треугольника касательные к графику функция f(x) точки с абсциссами ось Ох геометрия 11 класс Новый

Чтобы найти площадь треугольника, образованного касательными к графику функции f(x) = 4x - x^2 в точках с абсциссами x1 = 1 и x2 = 4, а также осью OX, нам нужно выполнить несколько шагов:

Шаг 1: Найдем производную функции f(x)

Производная функции f(x) = 4x - x^2 равна:

• f'(x) = 4 - 2x.

Шаг 2: Найдем касательные в точках x1 и x2

Теперь найдем значение функции и производной в точках x1 и x2:

• Для x1 = 1:
• f(1) = 4(1) - (1)^2 = 4 - 1 = 3.
• f'(1) = 4 - 2(1) = 4 - 2 = 2.
• Касательная в точке x1 = 1 имеет уравнение:
• y - f(1) = f'(1)(x - 1),
• y - 3 = 2(x - 1),
• y = 2x + 1.
• Для x2 = 4:
• f(4) = 4(4) - (4)^2 = 16 - 16 = 0.
• f'(4) = 4 - 2(4) = 4 - 8 = -4.
• Касательная в точке x2 = 4 имеет уравнение:
• y - f(4) = f'(4)(x - 4),
• y - 0 = -4(x - 4),
• y = -4x + 16.

Шаг 3: Найдем точки пересечения касательных с осью OX

Теперь найдем, где эти касательные пересекают ось OX (где y = 0):

• Для первой касательной (y = 2x + 1):
• 0 = 2x + 1,
• 2x = -1,
• x = -0.5.
• Для второй касательной (y = -4x + 16):
• 0 = -4x + 16,
• 4x = 16,
• x = 4.

Шаг 4: Найдем координаты вершин треугольника

Теперь у нас есть три точки, образующие треугольник:

• A(-0.5, 0) - точка пересечения первой касательной с осью OX,
• B(4, 0) - точка пересечения второй касательной с осью OX,
• C(1, 3) - точка касания первой касательной с графиком функции.

Шаг 5: Найдем площадь треугольника ABC

Площадь треугольника можно найти по формуле:

• Площадь = 1/2 * основание * высота.

В нашем случае основание AB равно:

• AB = 4 - (-0.5) = 4 + 0.5 = 4.5.

Высота треугольника равна y-координате точки C, то есть 3.

Теперь подставим значения в формулу:

• Площадь = 1/2 * 4.5 * 3 = 6.75.

Ответ: Площадь треугольника составляет 6.75 квадратных единиц.