Какова величина диаметра окружности, описанной около основания правильной шестиугольной пирамиды, если высота пирамиды составляет 8, а боковые рёбра равны 10?

Геометрия 11 класс Окружности, описанные около многоугольников диаметр окружности правильная шестиугольная пирамида высота пирамиды боковые ребра геометрия 11 класс Новый

Чтобы найти величину диаметра окружности, описанной около основания правильной шестиугольной пирамиды, нам нужно сначала выяснить радиус этой окружности.

Правильная шестиугольная пирамида имеет основание в виде правильного шестиугольника. Радиус окружности, описанной около этого шестиугольника, равен длине отрезка, соединяющего центр шестиугольника с одной из его вершин. Этот радиус обозначим как R.

Мы знаем, что высота пирамиды (h) равна 8, а боковые рёбра (l) равны 10. Для нахождения радиуса R, воспользуемся свойствами треугольника, образованного высотой, боковым ребром и радиусом окружности.

Сначала определим, что в правильном шестиугольнике каждая из сторон равна a. Радиус описанной окружности R можно выразить через сторону шестиугольника следующей формулой:

• R = a / (2 * sin(π/6)) = a / (2 * 1/2) = a.

Теперь нам нужно найти сторону шестиугольника a. Для этого рассмотрим треугольник, состоящий из высоты пирамиды, радиуса окружности и половины стороны шестиугольника. Этот треугольник является прямоугольным.

Обозначим половину стороны шестиугольника как a/2. В этом треугольнике мы имеем:

• h = 8 (высота пирамиды),
• l = 10 (боковое ребро),
• a/2 (половина стороны шестиугольника).

Теперь применим теорему Пифагора:

l² = h² + (a/2)².

Подставим известные значения:

• 10² = 8² + (a/2)²,
• 100 = 64 + (a/2)²,
• (a/2)² = 100 - 64 = 36,
• a/2 = √36 = 6.

Следовательно, сторона шестиугольника a равна:

• a = 2 * 6 = 12.

Теперь, зная сторону шестиугольника, можем найти радиус окружности:

• R = a = 12.

Теперь, чтобы найти диаметр D, нужно умножить радиус на 2:

• D = 2 * R = 2 * 12 = 24.

Таким образом, величина диаметра окружности, описанной около основания правильной шестиугольной пирамиды, составляет 24.