Чтобы найти длину диагонали прямоугольного параллелепипеда, нам нужно сначала определить длины его рёбер. Обозначим длины рёбер параллелепипеда как a, b и c. В данном случае, мы знаем длины диагоналей трёх граней, которые имеют общую вершину:

• Диагональ первой грани: 2√10 см
• Диагональ второй грани: 2√17 см
• Диагональ третьей грани: 10 см

Диагонали граней прямоугольного параллелепипеда можно выразить через длины его рёбер следующим образом:

• Для грани с рёбрами a и b: диагональ = √(a² + b²)
• Для грани с рёбрами b и c: диагональ = √(b² + c²)
• Для грани с рёбрами c и a: диагональ = √(c² + a²)

Теперь мы можем записать три уравнения для каждой из диагоналей:

1. √(a² + b²) = 2√10
2. √(b² + c²) = 2√17
3. √(c² + a²) = 10

Теперь возведем каждое уравнение в квадрат:

1. a² + b² = (2√10)² = 40
2. b² + c² = (2√17)² = 68
3. c² + a² = 10² = 100

Теперь у нас есть система из трех уравнений:

• 1) a² + b² = 40
• 2) b² + c² = 68
• 3) c² + a² = 100

Теперь мы можем выразить одно из рёбер через другие. Например, из первого уравнения выразим a²:

a² = 40 - b²

Подставим a² в третье уравнение:

c² + (40 - b²) = 100

Упростим это уравнение:

c² - b² = 60

Теперь у нас есть два уравнения:

• 1) b² + c² = 68
• 2) c² - b² = 60

Теперь из второго уравнения выразим c²:

c² = b² + 60

Подставим это значение в первое уравнение:

b² + (b² + 60) = 68

Упростим:

2b² + 60 = 68

2b² = 8

b² = 4

Теперь найдем b:

b = 2 см

Теперь подставим значение b в одно из уравнений, чтобы найти c:

c² + 2² = 68

c² + 4 = 68

c² = 64

c = 8 см

Теперь подставим b в первое уравнение, чтобы найти a:

a² + 2² = 40

a² + 4 = 40

a² = 36

a = 6 см

Теперь у нас есть длины рёбер параллелепипеда:

• a = 6 см
• b = 2 см
• c = 8 см

Теперь можем найти диагональ всего параллелепипеда, используя формулу:

Диагональ D = √(a² + b² + c²)

Подставим значения:

D = √(6² + 2² + 8²) = √(36 + 4 + 64) = √104

Таким образом, длина диагонали параллелепипеда составляет √104 см.