Каковы длины диагоналей трёх граней прямоугольного параллелепипеда, имеющие общую вершину, если они равны 2 корням из десяти см, 2 корням из семнадцати см и 10 см? Как можно вычислить диагональ параллелепипеда?

Геометрия 11 класс Диагонали прямоугольного параллелепипеда длины диагоналей прямоугольный параллелепипед вычисление диагонали геометрия 11 класс задачи по геометрии Новый

Чтобы найти длину диагонали прямоугольного параллелепипеда, нам нужно сначала определить длины его рёбер. Обозначим длины рёбер параллелепипеда как a, b и c. В данном случае, мы знаем длины диагоналей трёх граней, которые имеют общую вершину:

• Диагональ первой грани: 2√10 см
• Диагональ второй грани: 2√17 см
• Диагональ третьей грани: 10 см

Диагонали граней прямоугольного параллелепипеда можно выразить через длины его рёбер следующим образом:

• Для грани с рёбрами a и b: диагональ = √(a² + b²)
• Для грани с рёбрами b и c: диагональ = √(b² + c²)
• Для грани с рёбрами c и a: диагональ = √(c² + a²)

Теперь мы можем записать три уравнения для каждой из диагоналей:

1. √(a² + b²) = 2√10
2. √(b² + c²) = 2√17
3. √(c² + a²) = 10

Теперь возведем каждое уравнение в квадрат:

1. a² + b² = (2√10)² = 40
2. b² + c² = (2√17)² = 68
3. c² + a² = 10² = 100

Теперь у нас есть система из трех уравнений:

• 1) a² + b² = 40
• 2) b² + c² = 68
• 3) c² + a² = 100

Теперь мы можем выразить одно из рёбер через другие. Например, из первого уравнения выразим a²:

a² = 40 - b²

Подставим a² в третье уравнение:

c² + (40 - b²) = 100

Упростим это уравнение:

c² - b² = 60

Теперь у нас есть два уравнения:

• 1) b² + c² = 68
• 2) c² - b² = 60

Теперь из второго уравнения выразим c²:

c² = b² + 60

Подставим это значение в первое уравнение:

b² + (b² + 60) = 68

Упростим:

2b² + 60 = 68

2b² = 8

b² = 4

Теперь найдем b:

b = 2 см

Теперь подставим значение b в одно из уравнений, чтобы найти c:

c² + 2² = 68

c² + 4 = 68

c² = 64

c = 8 см

Теперь подставим b в первое уравнение, чтобы найти a:

a² + 2² = 40

a² + 4 = 40

a² = 36

a = 6 см

Теперь у нас есть длины рёбер параллелепипеда:

• a = 6 см
• b = 2 см
• c = 8 см

Теперь можем найти диагональ всего параллелепипеда, используя формулу:

Диагональ D = √(a² + b² + c²)

Подставим значения:

D = √(6² + 2² + 8²) = √(36 + 4 + 64) = √104

Таким образом, длина диагонали параллелепипеда составляет √104 см.